Подобие фигур — Геометрия, 9 класс

Коэффициент подобия, отношение периметров и площадей, пропорциональные отрезки. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Фотография и её увеличенная копия — подобные фигуры: форма та же, все размеры увеличены в одно и то же число раз. Это число — коэффициент подобия $k$ .

Углы равны, стороны больше в

k = \frac{6}{4} = 1, 5

раза

Определение и признаки

Треугольники подобны, если их углы соответственно равны, а сходственные стороны (лежащие против равных углов) пропорциональны:

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C} = k

k

— коэффициент подобия (второй треугольник относительно первого)

По двум угламДва угла одного треугольника равны двум углам другого.

По двум сторонам и углуДве стороны пропорциональны, а углы между ними равны.

По трём сторонамВсе три стороны пропорциональны.

Сходственные стороны 4 и 6: коэффициент большего к меньшему $k = \frac{6}{4} = 1, 5$ ; меньшего к большему — $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Делите сходственные стороны (против равных углов), а не те, что «стоят на одном месте» на рисунке.

Периметры и площади

Величина	Отношение
стороны, периметры, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы	$k$
площади	$k^{2}$

\frac{P _{2}}{P _{1}} = k, \frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}

Периметр 30, $k = 4$ : $P_{2} = 120$ . Периметры 24 и 36: $k = \frac{36}{24} = 1, 5$ .

Площади 12 и 192. Найти $k$ .

$k^{2} = \frac{192}{12} = 16$ .
$k = 16 www.reknow.ru = 4$ .

Площадь 6, $k = 2$ : $S_{2} = 6 \cdot 2^{2} = 24$ .

Если стороны выросли в 3 раза, площадь выросла в 9 раз, а не в 3. По площадям коэффициент ищут через корень.

Пропорциональные отрезки

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный исходному. Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

a : b = c : x \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{a}

основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних

$5 : 11 = 15 : x$ : $x = \frac{11 \cdot 15}{5} = 33$ . $4 : 8 = 12 : x$ : $x = 24$ .

В подобных треугольниках стороне 6 соответствует 12, значит $k = 2$ , и стороне 8 соответствует $16$ . Стороны 3 и 4, сходственная стороне 3 равна 4,5: $k = 1, 5$ , вторая сторона $4 \cdot 1, 5 = 6$ .

На этом же построены задачи про тень: столб и человек вместе со своими тенями образуют подобные прямоугольные треугольники. Средняя линия отсекает треугольник с $k = \frac{1}{2}$ : периметр вдвое меньше, площадь — вчетверо.

Масштаб: план, карта, модель

План участка, карта и модель здания подобны оригиналу. Отношение длин в натуре и на плане — коэффициент подобия $k$ .

Величина	Во сколько раз больше в натуре
длины, периметры	в $k$ раз
площади	в $k^{2}$ раз

Сторона модели 6 см, у здания она 12 м. Какова в натуре сторона, которая на модели 8 см?

$12$ м $= 1200$ см, $k = \frac{1200}{6} = 200$ (или в метрах на сантиметр: $12 : 6 = 2$ м в 1 см).
$8 \cdot 2 = 16$ м.

Если линейные размеры в натуре в 5 раз больше, площадь больше в $5^{2} = 25$ раз, а не в 5.

Посмотреть и посчитать

Модели

Подобие треугольников

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Подобные треугольники имеют соответственно равные углы.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Это определение подобия для треугольников.

У подобных треугольников соответственные стороны пропорциональны.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Отношение соответственных сторон равно коэффициенту подобия.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Первый признак подобия — по двум углам.

Все равносторонние треугольники подобны между собой.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. У них все углы по 60°, значит выполняется признак подобия по двум углам.

Все равнобедренные треугольники подобны между собой.

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. Углы при вершине у разных равнобедренных треугольников бывают разными.

Все квадраты подобны между собой.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. У квадратов все углы прямые, а стороны относятся как их длины.

Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Каждая сторона умножается на k, значит и сумма сторон тоже.

Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. Площади относятся как квадрат коэффициента: S₂ : S₁ = k².