Фигуры на клетчатой бумаге — Геометрия, 9 класс

Площадь, периметр и длина отрезка по клеткам. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Клетчатый лист — готовая линейка: каждая клетка — единица длины. Всё, что идёт по линиям сетки, считается по клеткам, а наклонные отрезки и «кривые» фигуры сводятся к прямоугольным треугольникам.

Если сторона клетки не 1, а, например, 5 мм, длины умножают на 5, а площади — на $5^{2} = 25$ .

Простые фигуры

Если стороны (или основания и высота) идут по линиям сетки, считаем клетки и применяем формулу:

S_{прям} = ab, S_{△} = \frac{a \cdot h}{2}, S_{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot h

a, b

— стороны или основания,

h

— высота (по клеткам)

Трапеция: основания 3 и 8 клеток, высота 4 клетки. $S = \frac{3 + 8}{2} \cdot 4 = 22$ .

Периметр фигуры из отрезков по сетке — сумма всех сторон по клеткам (у прямоугольника $2 \times 5$ : $P = 2 (2 + 5) = 14$ ).

У треугольника высоту отсчитывают перпендикулярно основанию: если основание горизонтально, высота — это число клеток по вертикали от основания до третьей вершины, даже если вершина «вылезла» за основание.

Наклонный отрезок

Наклонный отрезок — гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого идут по клеткам.

A B = a^{2} + b^{2} www.reknow.ru

a

— сдвиг по горизонтали,

b

— по вертикали (в клетках)

Сдвиг 6 и 8 клеток: $36 + 64 www.reknow.ru = 10$ . Сдвиг 5 и 12: $25 + 144 www.reknow.ru = 13$ .

Складывать клетки нельзя: при сдвиге 3 и 4 отрезок равен 5, а не 7.

Сложная фигура: достроить и вычесть

Прямоугольник

7 \times 5 = 35

минус треугольники

7 + 7, 5 + 5

: площадь

A BC

равна

15, 5

Обведём фигуру прямоугольником по линиям сетки: $7 \times 5 = 35$ .
Лишние части — прямоугольные треугольники с катетами по клеткам: $\frac{7 \cdot 2}{2} = 7$ , $\frac{5 \cdot 3}{2} = 7, 5$ , $\frac{2 \cdot 5}{2} = 5$ .
$S = 35 - (7 + 7, 5 + 5) = 15, 5$ .

Другой путь — разрезать фигуру на прямоугольники, треугольники и трапеции, у которых стороны идут по сетке, и сложить площади.

Подробнее: формула Пика

Для многоугольника с вершинами в узлах сетки (клетка $1 \times 1$ ): $S = В + \frac{Г}{2} - 1$ , где $В$ — число узлов строго внутри, $Г$ — число узлов на границе. Удобна для проверки ответа.

Ответ с половинкой (15,5; 17,5) — нормально: площадь прямоугольного треугольника с нечётным произведением катетов дробная.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге (сторона клетки равна 1).

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. Катеты 5 и 6: S = 5 · 6 : 2 = 15.

Найдите площадь прямоугольника на клетчатой бумаге (клетка 1 × 1).

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. S = 3 · 2 = 6.

Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге (сторона клетки равна 1).

Показать ответ

Ответ: 22
Решение. Основания 6 и 5, высота 4: S = (6 + 5) : 2 · 4 = 22.

Найдите длину отрезка на клетчатой бумаге (сторона клетки равна 1).

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. Катеты 8 и 6: AB² = 100; AB = 10.

Найдите площадь многоугольника на клетчатой бумаге (сторона клетки равна 1).

Показать ответ

Ответ: 15,5
Решение. Прямоугольник 5 × 4 даёт 20; отрезанный треугольник с катетами 3 и 3 — 4,5; 20 − 4,5 = 15,5.

Сторона клетки равна 1. Найдите площадь закрашенного треугольника.

Показать ответ

Ответ: 17,5
Решение. S = 5 · 7 : 2 = 17,5.

Найдите периметр фигуры на клетчатой бумаге (сторона клетки равна 1).

Показать ответ

Ответ: 14
Решение. P = 2 · (4 + 3) = 14.

Сторона клетки 1 × 1. Чему равна площадь трапеции?

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. S = (4 + 2) : 2 · 2 = 6.