Скалярное произведение векторов

Произведение по координатам, через длины и угол, условие перпендикулярности. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Скалярное произведение показывает, насколько два вектора «смотрят в одну сторону». Смотрят примерно туда же — число положительное, под прямым углом — ноль, в разные стороны — отрицательное. Результат — число (скаляр), а не вектор.

Знак

\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b}

совпадает со знаком

cos α

Две формулы

\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣ \cdot ∣ \overset{www.reknow.ru}{b} ∣ \cdot cos α

∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣

∣ \overset{www.reknow.ru}{b} ∣

— длины векторов,

α

— угол между ними

\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

\overset{a}{www.reknow.ru} (x_{1}; y_{1})

\overset{www.reknow.ru}{b} (x_{2}; y_{2})

: перемножаем одноимённые координаты и складываем

$\overset{a}{www.reknow.ru} (3; - 4)$ , $\overset{www.reknow.ru}{b} (- 3; - 3)$ : $\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = 3 \cdot (- 3) + (- 4) \cdot (- 3) = - 9 + 12 = 3$ .

Длины 6 и 6, угол $6 0^{\circ}$ : $6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 18$ . Длины 8 и 2, угол $9 0^{\circ}$ : $cos 9 0^{\circ} = 0$ , произведение $0$ .

Частая ошибка — перемножить координаты одного вектора ( $3 \cdot (- 4)$ ). Перемножают одноимённые координаты разных векторов: $x$ на $x$ , $y$ на $y$ .

Следствия

скалярный квадрат: $\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{a}{www.reknow.ru} = ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣^{2} = x^{2} + y^{2}$ ; для $\overset{a}{www.reknow.ru} (6; 2)$ : $36 + 4 = 40$ ;
перпендикулярность: $\overset{a}{www.reknow.ru} ⊥ \overset{www.reknow.ru}{b} ⟺ \overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = 0$ ;
угол между векторами:

cos α = \frac{a www.reknow.ru \cdot b www.reknow.ru}{∣ a www.reknow.ru ∣ \cdot ∣ b www.reknow.ru ∣} = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} www.reknow.ru \cdot x _{2}^{2} + y _{2}^{2} www.reknow.ru}

$\overset{a}{www.reknow.ru} (1; 2)$ , $\overset{www.reknow.ru}{b} (- 4; 2)$ : $\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = - 4 + 4 = 0$ — векторы перпендикулярны.

Проверяйте ответ по знаку: отрицательный косинус — угол обязательно тупой, ноль — прямой.

Свойства скалярного произведения

Свойство	Запись
не зависит от порядка множителей	$\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = \overset{www.reknow.ru}{b} \cdot \overset{a}{www.reknow.ru}$
числовой множитель выносится	$(k \overset{a}{www.reknow.ru}) \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = k (\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b})$ : умножили вектор на 2 — произведение удвоилось
скалярный квадрат	$\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{a}{www.reknow.ru} = ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣^{2}$ , значит $∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣ = \overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{a}{www.reknow.ru} www.reknow.ru$
сонаправленные векторы	$cos 0^{\circ} = 1$ : $\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣ \cdot ∣ \overset{www.reknow.ru}{b} ∣ > 0$

$\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = 0$ не значит, что векторы нулевые: ненулевые векторы дают ноль, когда они перпендикулярны. Единицы скалярного произведения — квадрат единиц длины (как у площади), а не единицы длины.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Скалярное произведение векторов — это число, а не вектор.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Результат операции — обычное число, поэтому произведение и называется скалярным.

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. cos 90° = 0, поэтому и всё произведение равно нулю.

Если скалярное произведение отрицательно, угол между векторами тупой.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Знак произведения совпадает со знаком косинуса угла.

Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. a·a = |a|·|a|·cos 0° = |a|².

Скалярное произведение сонаправленных векторов отрицательно.

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. При угле 0° косинус равен 1, произведение положительно.

Скалярное произведение можно найти как сумму произведений одноимённых координат.

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. a·b = x₁x₂ + y₁y₂.

Если скалярное произведение равно нулю, векторы обязательно нулевые.

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. Достаточно, чтобы они были перпендикулярны.

Скалярное произведение зависит от порядка множителей.

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. a·b = b·a — операция переместительна.