Координаты вектора. Координатный метод

Длина вектора, середина отрезка, уравнение окружности. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Вектор — это «инструкция по перемещению»: на сколько шагов сдвинуться вправо и на сколько вверх. Эти два числа и есть его координаты. Где бы ни начинался вектор, инструкция та же — поэтому равные векторы имеют одинаковые координаты.

Координаты и длина вектора

\overset{www.reknow.ru}{A B} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})

A (x_{1}; y_{1})

— начало,

B (x_{2}; y_{2})

— конец: из координат конца вычитаем координаты начала

A (- 3; 1)

B (3; 4)

\overset{www.reknow.ru}{A B} = (3 - (- 3); 4 - 1) = (6; 3)

, середина

M (0; 2, 5)

∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣ = x^{2} + y^{2} www.reknow.ru, A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} www.reknow.ru

длина вектора

\overset{a}{www.reknow.ru} (x; y)

и расстояние между точками — это теорема Пифагора

$A (3; 0)$ , $B (- 1; - 3)$ . Найти $A B$ .

$\overset{www.reknow.ru}{A B} = (- 1 - 3; - 3 - 0) = (- 4; - 3)$ .
$A B = 16 + 9 www.reknow.ru = 5$ .

Порядок важен: «конец минус начало». Если вычесть наоборот, получится противоположный вектор $\overset{www.reknow.ru}{B A}$ — знаки у координат поменяются. На длину это не влияет: минус под квадратом исчезает.

Середина отрезка и действия с векторами

M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

середина отрезка

A B

— среднее арифметическое координат концов

$A (6; - 2)$ , $B (- 2; - 4)$ : $M (\frac{6 - 2}{2}; \frac{- 2 - 4}{2}) = (2; - 3)$ .

\overset{a}{www.reknow.ru} \pm \overset{www.reknow.ru}{b} = (x_{1} \pm x_{2}; y_{1} \pm y_{2}), k \overset{a}{www.reknow.ru} = (k x; k y)

складываем и вычитаем соответствующие координаты; при умножении на число

k

умножаем каждую

$\overset{a}{www.reknow.ru} (- 3; 0)$ , $\overset{www.reknow.ru}{b} (2; 4)$ : $\overset{a}{www.reknow.ru} - \overset{www.reknow.ru}{b} = (- 3 - 2; 0 - 4) = (- 5; - 4)$ .

Сложение «по координатам» — как сложение перемещений: 3 шага вправо, потом ещё 2 шага вправо — всего 5.

Уравнение окружности

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

(a; b)

— центр,

R

— радиус; это условие «расстояние от точки

(x; y)

до центра равно

R

Центр $O (- 3; - 4)$ , $R = 5$ .

$x - (- 3) = x + 3$ , $y - (- 4) = y + 4$ .
$(x + 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 25$ .

Знаки в скобках противоположны координатам центра: центр $(2; - 1)$ даёт $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2}$ . Справа стоит $R^{2}$ , а не $R$ : при $R = 3$ пишем $9$ .

Коллинеарность и уравнение прямой

Векторы $\overset{a}{www.reknow.ru} (x_{1}; y_{1})$ и $\overset{www.reknow.ru}{b} (x_{2}; y_{2})$ коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{1}}{y _{2}}$ (или $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ ). Например, $(2; 3)$ и $(4; 6)$ : $\overset{www.reknow.ru}{b} = 2 \overset{a}{www.reknow.ru}$ .

Нулевой вектор $\overset{www.reknow.ru}{0} (0; 0)$ — начало совпадает с концом, длина равна нулю. Координаты вектора не зависят от того, от какой точки он отложен: равные векторы имеют равные координаты.

a x + b y + c = 0

общее уравнение прямой;

a

b

не равны нулю одновременно

Если $b \neq = 0$ , его можно переписать как $y = k x + m$ . Точка лежит на прямой, если её координаты обращают уравнение в верное равенство.

$x^{2} + y^{2} = 25$ — окружность радиуса $5$ , а не $25$ : справа стоит $R^{2}$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Сложение векторов

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

координаты вектора AB равны разности координат конца и начала

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁): из координат конца вычитают координаты начала.

длина вектора с координатами (x; y) равна √(x² + y²)

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Модуль вектора вычисляется по теореме Пифагора: |a| = √(x² + y²).

каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Середина M отрезка AB: x = x₁ + x₂2, y = y₁ + y₂2.

уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом R имеет вид (x − a)² + (y − b)² = R²

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Это каноническое уравнение окружности.

уравнение x² + y² = 25 задаёт окружность радиуса 25

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. Справа стоит R², поэтому R = √25 = 5, а не 25.

при сложении векторов их соответствующие координаты складываются

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂).

при умножении вектора на число обе его координаты умножаются на это число

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. k·a = (k·x; k·y).

расстояние между точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) равно √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Это формула расстояния между точками — следствие теоремы Пифагора.