Углы в окружности — Геометрия, 9 класс

Вписанный и центральный углы, касательная, хорда. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Представим круглую сцену: из центра и с края зала смотрят на одну и ту же часть сцены (дугу). Из центра она видна под углом вдвое больше, чем с любого места на краю. Это и есть главное правило темы.

Оба угла опираются на дугу

A B

(зелёная): центральный

12 0^{\circ}

, вписанный

6 0^{\circ}

Центральный угол (вершина в центре $O$ ) равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол (вершина на окружности) равен половине этой дуги — то есть половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

∠ A CB = \frac{1}{2} ∠ A OB = \frac{1}{2} ⌣ A B

⌣ A B

— градусная мера дуги

A B

Вписанный $∠ A CB = 6 6^{\circ}$ — центральный $∠ A OB = 2 \cdot 6 6^{\circ} = 13 2^{\circ}$ (при $7 5^{\circ}$ — $15 0^{\circ}$ ).
Центральный $7 2^{\circ}$ — вписанный $3 6^{\circ}$ ; центральный $2 2^{\circ}$ — вписанный $1 1^{\circ}$ .

Следствия: диаметр и четырёхугольники

Одна дугаВписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

На диаметрВписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (

18 0^{\circ} : 2

Вписанный четырёхугольникСумма противоположных углов

18 0^{\circ}

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

Описанный четырёхугольникСуммы противоположных сторон равны:

A B + C D = BC + A D

$BC$ — диаметр, $A$ на окружности, $∠ B = 4 7^{\circ}$ : $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $∠ C = 9 0^{\circ} - 4 7^{\circ} = 4 3^{\circ}$ .
$A BC D$ вписан, $∠ A = 7 1^{\circ}$ , $∠ B = 12 2^{\circ}$ : $∠ D$ противоположен $∠ B$ , $∠ D = 18 0^{\circ} - 12 2^{\circ} = 5 8^{\circ}$ .
$A BC D$ описан, $A B = 6$ , $BC = 10$ , $A D = 12$ : $C D = BC + A D - A B = 16$ .

Во вписанном четырёхугольнике $A BC D$ противоположны $A$ и $C$ , $B$ и $D$ . Данный $∠ A$ для поиска $∠ D$ не нужен — это лишнее данное.

Касательная и хорда

Слева:

O H ⊥ A B

A H = H B

. Справа:

OT ⊥ PT

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам.

PT = O P^{2} - r^{2} www.reknow.ru A B = 2 R^{2} - d^{2} www.reknow.ru

отрезок касательной из точки

P

; хорда на расстоянии

d

от центра окружности радиуса

R

$r = 21$ , $OP = 29$ : в прямоугольном $△ OTP$ $PT = 841 - 441 www.reknow.ru = 20$ .
$A B = 36$ , $d = 24$ : половина хорды 18, $R = 1 8^{2} + 2 4^{2} www.reknow.ru = 30$ .
$R = 25$ , $A B = 30$ : $d = 2 5^{2} - 1 5^{2} www.reknow.ru = 20$ .

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.

Пересекающиеся хорды и угол между касательной и хордой

A E \cdot EB = CE \cdot E D

хорды

A B

C D

пересекаются в точке

E

: произведения отрезков равны

$A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 6$ : $3 \cdot 8 = 6 \cdot E D$ , $E D = 4$ . При $4, 12, 8$ : $E D = 48 : 8 = 6$ .

∠ (касательная, T A) = \frac{1}{2} ⌣ T A

угол между касательной и хордой, проведёнными из точки касания

T

, равен половине дуги внутри угла

Дуга $T A = 15 4^{\circ}$ — угол $7 7^{\circ}$ ; дуга $9 6^{\circ}$ — угол $4 8^{\circ}$ .

Почти всё в теме — «половина дуги»: и вписанный угол, и угол между касательной и хордой. Целая дуга — только у центрального угла.

Посмотреть и посчитать

Модели

Вписанный угол

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Теорема о вписанном угле.

вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Все они равны половине одного и того же центрального угла.

вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Центральный угол равен 180°, значит вписанный равен 90°.

касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Свойство касательной к окружности.

отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Соответствующие прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе.

сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Свойство вписанного (циклического) четырёхугольника.

в описанном около окружности четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. AB + CD = BC + AD.

если две хорды пересекаются, то произведения отрезков одной хорды и другой равны

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. AE·EB = CE·ED — свойство пересекающихся хорд.