Движения — Геометрия, 9 класс

Параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрия. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Если перенести лист с рисунком по столу, повернуть его или перевернуть, сам рисунок не исказится: все расстояния останутся прежними. Такие преобразования называют движениями.

Движение — отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками. При движении отрезок переходит в равный отрезок, прямая — в прямую, угол — в равный угол, треугольник — в равный треугольник, площадь фигуры не меняется.

Четыре вида движений

Осевая симметрияОтносительно прямой

l

: точка переходит в точку по другую сторону

l

на том же перпендикуляре и на том же расстоянии.

Центральная симметрияОтносительно точки

O

O

— середина отрезка

A A^{'}

. Это то же, что поворот на

18 0^{\circ}

Параллельный переносНа вектор

\overset{a}{www.reknow.ru}

: каждая точка сдвигается на один и тот же вектор,

\overset{www.reknow.ru}{A A^{'}} = \overset{a}{www.reknow.ru}

ПоворотВокруг точки

O

на угол

α

O A^{'} = O A

∠ A O A^{'} = α

(по или против часовой стрелки).

Движения в координатах

Образы

A (3; 2)

: относительно

O x

—

(3; - 2)

O y

—

(- 3; 2)

, начала координат —

(- 3; - 2)

, поворот на

9 0^{\circ}

против часовой —

(- 2; 3)

Движение	$(x; y) \to$
перенос на вектор $(p; q)$	$(x + p; y + q)$
симметрия относительно оси $O x$	$(x; - y)$
симметрия относительно оси $O y$	$(- x; y)$
симметрия относительно начала координат	$(- x; - y)$
симметрия относительно точки $(a; b)$	$(2 a - x; 2 b - y)$
поворот на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки	$(- y; x)$
поворот на $9 0^{\circ}$ по часовой стрелке	$(y; - x)$

$A (4; 5)$ , поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ по часовой стрелке: $(y; - x) = (5; - 4)$ . $A (- 5; - 2)$ , симметрия относительно начала координат: $(5; 2)$ .

Проверка поворота: точка из I четверти при повороте на $9 0^{\circ}$ против часовой уходит во II, по часовой — в IV. Координаты меняются местами, и у одной меняется знак.

Возьмём вершину $A$ фигуры $F$ и соответствующую вершину $A^{'}$ фигуры $F^{'}$ .
Сравним координаты: поменялся знак у одной — осевая симметрия; у обеих — центральная; координаты поменялись местами со сменой знака — поворот на $9 0^{\circ}$ ; добавились одинаковые числа ко всем точкам — перенос.
Проверим на второй вершине.

Оси и центр симметрии фигур

Прямая — ось симметрии фигуры, если при симметрии относительно неё фигура переходит в себя. Точка — центр симметрии, если фигура переходит в себя при симметрии относительно этой точки.

Фигура	Осей симметрии	Центр симметрии
равнобедренный треугольник	1	нет
равносторонний треугольник	3	нет
параллелограмм (общий)	0	да — точка пересечения диагоналей
прямоугольник	2	да
ромб	2 (диагонали)	да
квадрат	4	да
равнобедренная трапеция	1	нет
правильный $n$ -угольник	$n$	да, если $n$ чётное
окружность, круг	бесконечно много	да — центр

Диагональ прямоугольника (не квадрата) — не ось симметрии: при отражении относительно неё прямоугольник не совпадает с собой. Его оси проходят через середины противоположных сторон.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

имеет ли центр симметрии фигура «квадрат»

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Фигура «квадрат» имеет центр симметрии.

имеет ли центр симметрии фигура «прямоугольник»

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Фигура «прямоугольник» имеет центр симметрии.

имеет ли центр симметрии фигура «ромб»

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Фигура «ромб» имеет центр симметрии.

имеет ли центр симметрии фигура «параллелограмм»

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Фигура «параллелограмм» имеет центр симметрии.

имеет ли центр симметрии фигура «правильный шестиугольник»

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Фигура «правильный шестиугольник» имеет центр симметрии.

имеет ли центр симметрии фигура «окружность»

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Фигура «окружность» имеет центр симметрии.

имеет ли центр симметрии фигура «отрезок»

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Фигура «отрезок» имеет центр симметрии.

движение — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Определение движения: расстояния между точками не меняются.