Калькулятор площади треугольника
Введите три стороны — калькулятор посчитает площадь по формуле Герона, проверит, существует ли такой треугольник, и заодно найдёт периметр.
Заполните, если хотите проверить себя: калькулятор сравнит и подскажет, на каком шаге разошлось.
Здесь часто ошибаются
- ✗Считают полупериметр как периметр. В формуле Герона p — это половина суммы сторон. Если подставить целый периметр, площадь получится в несколько раз больше настоящей.
- ✗Берут стороны, которые не образуют треугольника. У сторон 2, 3 и 10 две короткие просто не дотянутся друг до друга: под корнем окажется отрицательное число.
- ✗Умножают две стороны и делят пополам. Так считается площадь только прямоугольного треугольника по катетам. В общем случае нужна высота или формула Герона.
Последние расчёты
Хранятся только в этом браузере. Нажмите, чтобы вернуться к расчёту.
Хотите научиться решать сами?
Калькулятор считает за вас, но на контрольной телефона не будет. В тренажёрах те же формулы, только задачи вы решаете сами.
Площади фигур, 8 классТреугольник, параллелограмм, трапеция — с выводом формулРешать →Четырёхугольники — задание 17 ОГЭПлощади в экзаменационном форматеРешать →Треугольники, 7 классВиды треугольников, неравенство треугольника, признаки равенстваРешать →Теория и модели по теме
Площадь треугольника по трём сторонам
Когда известны все три стороны, площадь считают по формуле Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p — полупериметр, то есть половина суммы сторон. Высота в этой формуле не нужна вовсе, и это её главное достоинство: три стороны можно просто измерить, а высоту ещё надо построить.
Разбор примера
Стороны 13, 14 и 15. Полупериметр: (13 + 14 + 15) : 2 = 21. Разности: 21 − 13 = 8, 21 − 14 = 7, 21 − 15 = 6. Перемножаем всё: 21 · 8 · 7 · 6 = 7056. Корень из 7056 равен 84 — это и есть площадь. Треугольник со сторонами 13, 14, 15 школьный любимец именно потому, что площадь у него целая, а высоты — 12, 11¹¹⁄₁₄ и 11¹⁄₅.
Проверка существования
Прежде чем считать, калькулятор проверяет неравенство треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Если это не так, треугольника с такими сторонами не существует, и формула Герона даёт корень из отрицательного числа. Именно поэтому в ответе появляется не «ошибка», а объяснение, какая сторона оказалась слишком длинной.
Другие способы
По основанию и высоте площадь считается как половина их произведения: S = ½ · a · h. По двум сторонам и углу между ними — через синус: S = ½ · a · b · sin γ. Все три формулы дают один и тот же результат, и выбор зависит только от того, что известно в условии. Для прямоугольного треугольника проще всего половина произведения катетов, потому что катеты и есть основание с высотой.
Если треугольник прямоугольный
Калькулятор замечает это сам: если сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату большей, он отдельно сообщает, что треугольник прямоугольный, и площадь можно было найти проще. Для набора 3, 4, 5 формула Герона даёт те же 6, что и половина произведения катетов.
Частые вопросы
Можно ли найти площадь треугольника, зная только стороны?
Да, для этого и существует формула Герона: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), где p — полупериметр. Ни высоту, ни углы знать не нужно — три стороны задают треугольник однозначно.
Что такое полупериметр в формуле Герона?
Половина суммы всех трёх сторон: p = (a + b + c) : 2. Для сторон 13, 14 и 15 полупериметр равен 21. Это самая частая ошибка — подставить вместо него полный периметр.
Почему калькулятор пишет, что треугольника не существует?
Сработало неравенство треугольника: одна из сторон оказалась длиннее или равна сумме двух других. Например, из отрезков 2, 3 и 10 треугольник не сложить — короткие стороны не сойдутся.
Как найти площадь треугольника через две стороны и угол?
Умножьте стороны друг на друга, на синус угла между ними и разделите пополам: S = ½ · a · b · sin γ. Если угол прямой, синус равен единице, и формула превращается в половину произведения катетов.
Решение с сайта reknow.ru · https://reknow.ru/calc/calc_ploshchad_treugolnika.htm