Тема 02 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 5 из 5

Медианы, биссектрисы и площадь

Площади и радиусы. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Площадь треугольника можно посчитать по-разному: по стороне и высоте, по трём сторонам, по двум сторонам и углу. Выбирают ту формулу, для которой всё дано. А сравнивать площади часто проще, чем считать: у треугольников с общей высотой площади относятся как основания.

S = \frac{1}{2} a h_{a} = p (p - a) (p - b) (p - c) www.reknow.ru = \frac{1}{2} ab sin C = p r = \frac{ab c}{4 R}

a, b, c

— стороны,

h_{a}

— высота к

a

p

— полупериметр,

C

— угол между

a

b

r

R

— радиусы вписанной и описанной окружностей

Формула Герона и высоты

Площадь по трём сторонам: $S = p (p - a) (p - b) (p - c) www.reknow.ru$ , $p = \frac{a + b + c}{2}$ . Произведение под корнем раскладывайте на множители — корень извлечётся без калькулятора.

Высота $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ . Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне, наименьшая — к наибольшей.

$A B = 34$ , $BC = 18$ , $A C = 20$ . Найти наибольшую высоту.

$p = 36$ ; $S = 36 \cdot 2 \cdot 18 \cdot 16 www.reknow.ru = 20736 www.reknow.ru = 144$ .
Наименьшая сторона 18: $h = \frac{2 \cdot 144}{18} = 16$ .

Стороны $39, 25, 34$ : $p = 49$ , $S = 49 \cdot 10 \cdot 24 \cdot 15 www.reknow.ru = 176400 www.reknow.ru = 420$ .

Радиусы вписанной и описанной окружностей

r = \frac{S}{p}, R = \frac{ab c}{4 S}

отрезки касательных из вершины $A$ равны $p - a$ ; $A I^{2} = r^{2} + (p - a)^{2}$ ( $I$ — центр вписанной окружности);
прямоугольный треугольник: $R = \frac{c}{2}$ , $r = \frac{a + b - c}{2}$ , $S = r (r + c)$ .

$A B = 10$ , $BC = 17$ , $A C = 9$ . Найти $r$ .

$p = 18$ , $S = 18 \cdot 8 \cdot 1 \cdot 9 www.reknow.ru = 36$ .
$r = \frac{36}{18} = 2$ .

$39, 39, 30$ : высота к основанию $3 9^{2} - 1 5^{2} www.reknow.ru = 36$ , $S = 540$ , $p = 54$ , $r = 10$ .

Площадь через синус угла

S_{△} = \frac{1}{2} ab sin C, S_{пар} = ab sin α, S_{четыр} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

φ

— угол между диагоналями

d_{1}, d_{2}

(любой выпуклый четырёхугольник)

Синус по косинусу: $sin α = 1 - cos^{2} α www.reknow.ru$ (синус угла треугольника положителен). Смежные углы: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , поэтому неважно, какой из двух углов между диагоналями взять.

$d_{1} = d_{2} = 13$ , $cos φ = \frac{12}{13}$ : $sin φ = \frac{5}{13}$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 169 \cdot \frac{5}{13} = 32, 5$ .

$S = 128, 25$ , $BC = 27$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ : $\frac{1}{2} \cdot 27 \cdot A C \cdot \frac{1}{2} = 128, 25$ , $A C = 19$ .

Отношения площадей

общая высота — площади относятся как основания;
общий угол: $\frac{S _{A D E}}{S _{A BC}} = \frac{A D \cdot A E}{A B \cdot A C}$ ( $D$ на $A B$ , $E$ на $A C$ );
подобные треугольники — площади относятся как $k^{2}$ ;
трапеция с диагоналями, пересекающимися в $O$ : $S_{A OB} = S_{CO D} = S_{BOC} \cdot S_{A O D} www.reknow.ru$ ;
треугольник $A M D$ , где $M$ — любая точка стороны $BC$ параллелограмма $A BC D$ , — половина его площади.

$A D : D B = 4 : 1$ , $BE : EC = 1 : 4$ , $CF : F A = 3 : 2$ , $S_{A BC} = 200$ . Найти $S_{D EF}$ .

Отрежем три угловых треугольника: $S_{A D F} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{5} S = \frac{8}{25} S$ , $S_{B D E} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} S = \frac{1}{25} S$ , $S_{CEF} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} S = \frac{12}{25} S$ .
$S_{D EF} = (1 - \frac{21}{25}) \cdot 200 = 32$ .

Трапеция: $S_{BOC} = 20$ , $S_{A O D} = 125$ , тогда $S_{A OB} = 2500 www.reknow.ru = 50$ .

Медианы и площадь

Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников,

G

делит каждую медиану

2 : 1

от вершины

четырёхугольник $C A_{1} G B_{1}$ (две части из шести) — $\frac{1}{3} S$ : при $S = 324$ это $108$ ;
треугольник, составленный из медиан: $S = \frac{4}{3} S_{медиан}$ ;
если медианы $m_{a} ⊥ m_{b}$ : $S = \frac{2}{3} m_{a} m_{b}$ , $a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}$ ;
биссектриса делит площадь в отношении прилежащих сторон.

Медианы $34, 50, 52$ . По Герону треугольник из медиан: $p = 68$ , $S = 68 \cdot 34 \cdot 18 \cdot 16 www.reknow.ru = 816$ ; площадь исходного $\frac{4}{3} \cdot 816 = 1088$ .

Коэффициент $\frac{4}{3}$ — от треугольника из медиан к исходному, а не наоборот.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Площадь треугольника

Серия: 0