Учебник reknow · 7 класс

Геометрия: теория

9 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:7 8 9 10 11 Математика по всем классам →

Углы и их биссектрисы (углублённый уровень)
Начальные геометрические сведения
Параллельные прямые: углы при секущей (углублённый уровень)
Треугольники
Треугольники: равенство и вспомогательные построения (углублённый уровень)
Параллельные прямые
Соотношения между сторонами и углами треугольника (углублённый уровень)
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Составные задачи на вычисление углов и отрезков (углублённый уровень)

Тема 01 · Геометрия, углублённый уровень

Углы и их биссектрисы (углублённый уровень)

Простыми словами

Почти любая задача про углы держится на двух числах: прямая «стоит» $18 0^{\circ}$ , полный оборот вокруг точки — $36 0^{\circ}$ . Лучи из одной точки делят эти $18 0^{\circ}$ или $36 0^{\circ}$ на части — из этого и получается уравнение.

СмежныеОбщая сторона, две другие образуют прямую:

∠1 + ∠2 = 18 0^{\circ}

ВертикальныеСтороны одного — продолжения сторон другого:

∠1 = ∠2

Вокруг точкиСумма всех углов между соседними лучами

= 36 0^{\circ}

Если луч $OC$ проходит внутри $∠ A OB$ , то $∠ A OC + ∠ COB = ∠ A OB$ .

Смежные и вертикальные в одной конфигурации

Прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в $O$ , $∠ A OC = 10 6^{\circ}$ , луч $O K$ внутри $∠ BOC$ , $∠ BO K = 4 9^{\circ}$ . Найти $∠ K O D$ .

$∠ BO D = ∠ A OC = 10 6^{\circ}$ — вертикальные.
$∠ K O D = ∠ K OB + ∠ BO D = 4 9^{\circ} + 10 6^{\circ} = 15 5^{\circ}$ .

Смежные углы отличаются на $8 6^{\circ}$ . Найти больший.

Меньший $x$ , больший $x + 8 6^{\circ}$ : $2 x + 8 6^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , $x = 4 7^{\circ}$ .
Больший $4 7^{\circ} + 8 6^{\circ} = 13 3^{\circ}$ .

m x + k x = 18 0^{\circ} \Rightarrow x = \frac{18 0 ^{\circ}}{m + k}

смежные углы относятся как

m : k

;

x

— одна часть

Биссектрисы

Биссектриса угла — луч из вершины, который делит угол пополам: если $∠ A OC = α$ , каждая половина $\frac{α}{2}$ .

OM

ON

— биссектрисы смежных углов

COB

A OC

∠ MON = 9 0^{\circ}

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны: $\frac{α}{2} + \frac{18 0 ^{\circ} - α}{2} = 9 0^{\circ}$ при любом $α$ . Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

$O$ на прямой $A B$ , $∠ A OC = 3 4^{\circ}$ , $OM$ — биссектриса $∠ COB$ . Найти $∠ A OM$ .

$∠ COB = 18 0^{\circ} - 3 4^{\circ} = 14 6^{\circ}$ , $∠ MOB = 7 3^{\circ}$ .
$∠ A OM = 18 0^{\circ} - 7 3^{\circ} = 10 7^{\circ}$ (или $3 4^{\circ} + 7 3^{\circ}$ ).

Смежные $∠ A OC : ∠ COB = 4 : 1$ , $OM$ — биссектриса $∠ A OC$ . Найти $∠ MOB$ .

$5 x = 18 0^{\circ}$ , $x = 3 6^{\circ}$ : $∠ A OC = 14 4^{\circ}$ , $∠ COB = 3 6^{\circ}$ .
$∠ MOB = \frac{14 4 ^{\circ}}{2} + 3 6^{\circ} = 10 8^{\circ}$ .

Биссектриса биссектрисы: если $OC$ делит $∠ A OB$ пополам, а $O D$ — пополам $∠ COB$ , то $∠ A O D = \frac{3}{4} ∠ A OB$ . При $∠ A OB = 8 0^{\circ}$ получаем $6 0^{\circ}$ .

Углы вокруг точки и уравнение

Лучи $O A, OB, OC, O D$ идут по кругу, $∠ A OB = 11 8^{\circ}$ , $∠ BOC = 5 0^{\circ}$ , $∠ CO D = 5 5^{\circ}$ . Найти $∠ D O A$ .

$∠ D O A = 36 0^{\circ} - 11 8^{\circ} - 5 0^{\circ} - 5 5^{\circ} = 13 7^{\circ}$ .

$∠ A OB = 12 6^{\circ}$ , $∠ A OC = 2 x + 9^{\circ}$ , $∠ COB = 3 x - 8^{\circ}$ . Найти $∠ COB$ .

Луч внутри угла: $(2 x + 9) + (3 x - 8) = 126$ , $5 x = 125$ , $x = 25$ .
$∠ COB = 3 \cdot 25 - 8 = 6 7^{\circ}$ .

$∠ A OB = 17 2^{\circ}$ , $∠ A OC$ больше $∠ COB$ на $4 4^{\circ}$ : $x + (x + 4 4^{\circ}) = 17 2^{\circ}$ , $∠ COB = x = 6 4^{\circ}$ .

Найдя $x$ , вернитесь к вопросу: часто нужен не $x$ , а $3 x - 8$ или $x + 4 4^{\circ}$ . И проверьте, что каждый угол получился положительным.

Ещё конфигурации с биссектрисами и лучами

Луч делит угол в отношении, $OM$ — биссектриса: $∠ A OB = 7 8^{\circ}$ , $∠ A OC : ∠ COB = 2 : 1$ → $∠ A OC = 5 2^{\circ}$ , $∠ A OM = 3 9^{\circ}$ , $∠ COM = 5 2^{\circ} - 3 9^{\circ} = 1 3^{\circ}$ .
Смежные $1 : 4$ , биссектриса большего: углы $3 6^{\circ}$ и $14 4^{\circ}$ ; биссектриса большего образует с общей стороной $OC$ угол $14 4^{\circ} : 2 = 7 2^{\circ}$ .
Обратная задача: $OM$ — биссектриса $∠ A OC$ , $∠ MOB = 13 1^{\circ}$ → $∠ MO A = 18 0^{\circ} - 13 1^{\circ} = 4 9^{\circ}$ , $∠ A OC = 9 8^{\circ}$ .
Биссектрисы смежных углов: $∠ MOC = 2 3^{\circ}$ → $∠ NOC = 9 0^{\circ} - 2 3^{\circ} = 6 7^{\circ} = ∠ NOB$ .
Лучи по одну сторону от прямой: $∠ A OC = 9 4^{\circ}$ , $∠ CO D = 3 0^{\circ}$ → $∠ D OB = 18 0^{\circ} - 9 4^{\circ} - 3 0^{\circ} = 5 6^{\circ}$ . Два луча внутри угла: $∠ CO D = ∠ A OB - ∠ A OC - ∠ D OB = 14 9^{\circ} - 6 3^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 1^{\circ}$ .
Вокруг точки: три угла в отношении $2 : 2 : 1$ — $5 x = 36 0^{\circ}$ , наименьший $7 2^{\circ}$ ; четыре луча, $∠ A OB = 9 3^{\circ}$ , $∠ BOC = 5 9^{\circ}$ , два остальных равны $x$ : $2 x = 36 0^{\circ} - 15 2^{\circ}$ , $x = 10 4^{\circ}$ .
«В $k$ раз больше»: $∠ A OC = 3∠ COB$ , $∠ A OB = 10 0^{\circ}$ → $4 x = 10 0^{\circ}$ , $∠ A OC = 7 5^{\circ}$ .

Тема 1 · Геометрия

Начальные геометрические сведения

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Натянутая нить — модель прямой, её кусок между двумя узелками — отрезок, луч фонарика — луч: начало есть, конца нет. Из этих «кирпичиков» строится вся геометрия.

Прямая бесконечна в обе стороны, отрезок ограничен двумя точками, луч — одной

ТочкаНе имеет размеров. Обозначают заглавной буквой:

A

ПрямаяБесконечна в обе стороны:

a

или

A B

ОтрезокЧасть прямой между двумя точками — концами.

ЛучЧасть прямой с началом, бесконечная в одну сторону.

Длина отрезка

A B = A C + CB

если точка

C

лежит между

A

B

$C$ лежит на отрезке $A B$ , $A C = 9$ , $CB = 13$ . Найти $A B$ .

$A B = 9 + 13 = 22$ . Если известно $A B$ и одна часть, другую находим вычитанием: $CB = A B - A C$ .

Если $C$ — середина $A B$ , то $A C = CB = \frac{A B}{2}$ .

Углы

Угол — два луча с общим началом (вершиной). Измеряется в градусах. Развёрнутый угол ( $18 0^{\circ}$ ) — его стороны лежат на одной прямой; прямой — $9 0^{\circ}$ ; острый меньше $9 0^{\circ}$ ; тупой — от $9 0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ .

∠1 + ∠2 = 18 0^{\circ}

;

∠3 = ∠4

Смежные углы (одна сторона общая, две другие — продолжения друг друга) в сумме дают $18 0^{\circ}$ .
Вертикальные углы (стороны одного — продолжения сторон другого) равны.
Перпендикулярные прямые пересекаются под углом $9 0^{\circ}$ : $a ⊥ b$ .

Угол $14 2^{\circ}$ . Смежный с ним: $18 0^{\circ} - 14 2^{\circ} = 3 8^{\circ}$ . Вертикальный с ним: тоже $14 2^{\circ}$ .

Биссектриса

Биссектриса угла — луч из вершины, делящий угол пополам.

∠ A OC = ∠ COB = \frac{∠ A OB}{2}

OC

— биссектриса угла

A OB

$∠ A OB = 9 4^{\circ}$ , $OC$ — биссектриса: $∠ A OC = 9 4^{\circ} : 2 = 4 7^{\circ}$ . Если известна половина — угол вдвое больше.

«Смежные — сумма, вертикальные — равны»: смежные стоят рядом на прямой и вместе её «составляют», вертикальные смотрят друг на друга через вершину, как в зеркале.

Смежные углы в задачах

Через две точки можно провести одну прямую. Углы измеряют транспортиром.
Сумма смежных углов $18 0^{\circ}$ , потому что вместе они составляют развёрнутый угол. Пары $13 9^{\circ}$ и $4 1^{\circ}$ могут быть смежными, $14 2^{\circ}$ и $4 8^{\circ}$ — нет (сумма $19 0^{\circ}$ ). Угол, смежный с прямым, — тоже прямой; два равных смежных угла — по $9 0^{\circ}$ . Чем больше угол, тем меньше смежный с ним: смежный с $5 7^{\circ}$ ( $12 3^{\circ}$ ) больше смежного с $10 2^{\circ}$ ( $7 8^{\circ}$ ).
«Один на 18° больше другого»: $x + (x + 18) = 180$ , $2 x = 162$ , меньший $8 1^{\circ}$ . Отношение $1 : 2$ : $x + 2 x = 180$ , $x = 60$ , больший $12 0^{\circ}$ . Пропущенное число: $18 0^{\circ} - ? = 5 2^{\circ}$ → $12 8^{\circ}$ .
Жизненные задачи — это поиск смежного угла: знак наклонён к столбу под $6 7^{\circ}$ — с продолжением столба $11 3^{\circ}$ ; крышка ноутбука под $9 8^{\circ}$ к столешнице — с продолжением $8 2^{\circ}$ ; секция лестницы под $3 3^{\circ}$ к полу — $14 7^{\circ}$ .

Частая ошибка — считать сумму смежных углов $9 0^{\circ}$ : смежный с $7 9^{\circ}$ равен $18 0^{\circ} - 7 9^{\circ} = 10 1^{\circ}$ , а не $1 1^{\circ}$ .

Тема 02 · Геометрия, углублённый уровень

Параллельные прямые: углы при секущей (углублённый уровень)

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Представим рельсы и шпалу, положенную наискосок. Рельсы параллельны, поэтому шпала пересекает их «одинаково»: углы у одного рельса в точности повторяют углы у другого. Из восьми углов получается только два разных значения.

При

a ∥ b

острые углы 1, 3, 5, 7 равны

α

, тупые 2, 4, 6, 8 равны

18 0^{\circ} - α

При $a ∥ b$ любые два угла при секущей либо равны, либо в сумме дают $18 0^{\circ}$ .

Три пары углов

Накрест лежащиеМежду прямыми, по разные стороны от секущей (3 и 5, 4 и 6). Буква «Z». Равны.

СоответственныеОдинаково расположены у разных прямых (1 и 5, 3 и 7). Буква «F». Равны.

ОдносторонниеМежду прямыми, по одну сторону от секущей (3 и 6, 4 и 5). Буква «П». В сумме

18 0^{\circ}

Прямые $a$ и $b$ параллельны, если при секущей: накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна $18 0^{\circ}$ .

Соответственные углы $∠1 = (6 x + 34)^{\circ}$ , $∠2 = (7 x + 26)^{\circ}$ .

Соответственные углы должны быть равны: $6 x + 34 = 7 x + 26$ .
$x = 8$ . Если углы односторонние, например $(3 x + 33)^{\circ}$ и $(3 x + 51)^{\circ}$ , уравнение другое: $6 x + 84 = 180$ , $x = 16$ .

Углы через отношение, сумму, разность

Два угла при одной прямой — смежные, их сумма $18 0^{\circ}$ . Условие задачи превращаем в уравнение:

m x + k x = 18 0^{\circ} x + (x + d) = 18 0^{\circ}

углы относятся как

m : k

; один больше другого на

d

Найдя один угол, второй получаем вычитанием из $18 0^{\circ}$ , а затем переносим к другой прямой как равный (накрест лежащий или соответственный).

Углы при прямой $a$ относятся как $2 : 3$ . Найти тупой угол при прямой $b$ .

$2 x + 3 x = 18 0^{\circ}$ , $x = 3 6^{\circ}$ : углы $7 2^{\circ}$ и $10 8^{\circ}$ .
При прямой $b$ те же два значения, тупой угол — $10 8^{\circ}$ .

Сумма двух накрест лежащих углов $12 2^{\circ}$ . Найти угол, смежный с одним из них.

Накрест лежащие равны: каждый $12 2^{\circ} : 2 = 6 1^{\circ}$ .
Смежный: $18 0^{\circ} - 6 1^{\circ} = 11 9^{\circ}$ .

Сумма $12 2^{\circ}$ — признак того, что углы равны (накрест лежащие или соответственные), а не односторонние: у односторонних сумма всегда $18 0^{\circ}$ .

Точка между параллельными

Точка $M$ лежит между $a ∥ b$ , $A \in a$ , $B \in b$ . Через $M$ проводим вспомогательную прямую, параллельную $a$ и $b$ . Она делит $∠ A MB$ на два угла, каждый — накрест лежащий с углом при $A$ или при $B$ .

Пунктир через

M

параллелен

a

b

∠ A MB = ∠ (a, A M) + ∠ (b, BM)

«излом» между параллельными

$∠ (a, A M) = 2 4^{\circ}$ , $∠ A MB = 6 5^{\circ}$ . Тогда $∠ (b, BM) = 6 5^{\circ} - 2 4^{\circ} = 4 1^{\circ}$ .

Параллельные стороны и биссектрисы

Если стороны двух углов соответственно параллельны, то углы либо равны (обе пары сторон направлены одинаково или обе противоположно), либо в сумме дают $18 0^{\circ}$ (одна пара сонаправлена, другая — нет).

Один из таких углов больше другого на $2 8^{\circ}$ . Найти меньший.

Углы не равны — значит, их сумма $18 0^{\circ}$ : $x + (x + 2 8^{\circ}) = 18 0^{\circ}$ .
$2 x = 15 2^{\circ}$ , $x = 7 6^{\circ}$ . Аналогично «в 4 раза больше»: $x + 4 x = 18 0^{\circ}$ , больший $14 4^{\circ}$ .

Биссектрисы односторонних угловперпендикулярны:

\frac{α}{2} + \frac{18 0 ^{\circ} - α}{2} = 9 0^{\circ}

Биссектрисы накрест лежащих угловпараллельны между собой.

Угол при прямой $a$ равен $6 2^{\circ}$ , при $b$ биссектриса $N K$ делит односторонний с ним угол. Найти $∠ (N K, MN)$ .

Односторонний угол: $18 0^{\circ} - 6 2^{\circ} = 11 8^{\circ}$ .
Биссектриса делит его пополам: $11 8^{\circ} : 2 = 5 9^{\circ}$ .

Сначала найдите «острое» и «тупое» значение на чертеже — дальше любой угол при параллельных равен одному из них.

Две секущие из одной точки

Если из точки $P$ прямой $a$ провести к прямой $b ∥ a$ два отрезка $PQ$ и $PR$ , получится треугольник $PQR$ . Углы между прямой $a$ и отрезками переносятся вниз как накрест лежащие: $∠ PQR = ∠ (a, PQ)$ , $∠ PRQ = ∠ (a, PR)$ .

$∠ (a, PQ) = 7 5^{\circ}$ слева от $P$ , $∠ (a, PR) = 6 1^{\circ}$ справа. Три угла при точке $P$ на прямой $a$ составляют развёрнутый угол: $∠ QPR = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} - 6 1^{\circ} = 4 4^{\circ}$ (то же даёт сумма углов $△ PQR$ ).

$∠ (a, PQ) = 6 8^{\circ}$ , $∠ PRQ = 6 9^{\circ}$ . Накрест лежащий $∠ PQR = 6 8^{\circ}$ , тогда $∠ QPR = 18 0^{\circ} - 6 8^{\circ} - 6 9^{\circ} = 4 3^{\circ}$ .

Чтобы выбрать признак параллельности по двум данным углам, посмотрите, как они расположены: если углы $14 4^{\circ}$ и $3 6^{\circ}$ — односторонние, удобен признак «сумма односторонних углов $18 0^{\circ}$ »; если равны и лежат крест-накрест — «накрест лежащие равны».

Тема 2 · Геометрия

Треугольники

Потренироваться: задания по теме →

Неравенство треугольника Сумма углов треугольника

Простыми словами

Три гвоздя, натянутая между ними нить — вот и треугольник. Он «жёсткий»: если длины трёх сторон заданы, форму уже не изменить. Поэтому из треугольников собирают фермы мостов и крыши.

Треугольник — фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин), и трёх отрезков, их соединяющих (сторон). Сумма его углов $18 0^{\circ}$ .

P = a + b + c

периметр — сумма длин сторон

a

b

c

Стороны $38$ , $41$ , $47$ : $P = 38 + 41 + 47 = 126$ .

Признаки равенства

Признак	Что должно быть равно
Первый	две стороны и угол между ними
Второй	сторона и два прилежащих к ней угла
Третий	три стороны

У равных треугольников равны все соответственные стороны и углы.

Равенство трёх углов не означает равенство треугольников: маленький и большой равносторонние треугольники имеют одинаковые углы.

Медиана, биссектриса, высота

Высота, биссектриса и медиана из вершины

B

МедианаОтрезок из вершины к середине противолежащей стороны.

БиссектрисаОтрезок биссектрисы угла от вершины до противолежащей стороны — делит угол пополам.

ВысотаПерпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Равнобедренный треугольник

Две стороны равны — это боковые стороны; третья — основание. Если равны все три стороны, треугольник равносторонний (все углы по $6 0^{\circ}$ ).

• Углы при основании равны.
• Медиана, проведённая к основанию, является также биссектрисой и высотой.

β = \frac{18 0 ^{\circ} - α}{2}, α = 18 0^{\circ} - 2 β

α

— угол при вершине,

β

— угол при основании

Угол при вершине $7 2^{\circ}$ . Угол при основании: $\frac{18 0 ^{\circ} - 7 2 ^{\circ}}{2} = 5 4^{\circ}$ .

P = 2 b + a \Rightarrow b = \frac{P - a}{2}

b

— боковая сторона,

a

— основание

$P = 39$ , основание $13$ : $b = \frac{39 - 13}{2} = 13$ (треугольник равносторонний).

«Бёдра» треугольника — боковые стороны; равнобедренный — «с равными бёдрами».

Тема 03 · Геометрия, углублённый уровень

Треугольники: равенство и вспомогательные построения (углублённый уровень)

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Два треугольника равны, если один можно наложить на другой так, что они совпадут. Чтобы это доказать, не нужно сверять всё — хватает трёх подходящих элементов. А потом равенство «переносит» известные стороны и углы с одного треугольника на другой.

1-й: по двум сторонам и углу между ними.
2-й: по стороне и двум прилежащим к ней углам.
3-й: по трём сторонам.

В составном чертеже ищите готовые равные элементы: общую сторону двух треугольников и вертикальные углы.

$C$ и $D$ по разные стороны от $A B$ , $A C = A D$ , $BC = B D$ , $∠ C A B = 3 6^{\circ}$ , $∠ A CB = 8 5^{\circ}$ . Найти $∠ A B D$ .

$△ A CB = △ A D B$ по трём сторонам ( $A B$ — общая).
Значит, $∠ A B D = ∠ A BC = 18 0^{\circ} - 3 6^{\circ} - 8 5^{\circ} = 5 9^{\circ}$ .
Периметр $A CB D = 2 A C + 2 BC$ : при $A C = 15$ , $BC = 7$ он равен $44$ .

Равнобедренный треугольник

$A B = A C$ — боковые стороны, $BC$ — основание, $A$ — вершина. Углы при основании равны: $∠ B = ∠ C$ .

∠ A + 2∠ B = 18 0^{\circ}

∠ A

— угол при вершине,

∠ B

— угол при основании

$∠ A : ∠ B = 7 : 4$ . Найти $∠ A$ .

$∠ A = 7 x$ , $∠ B = ∠ C = 4 x$ : $7 x + 4 x + 4 x = 18 0^{\circ}$ .
$15 x = 18 0^{\circ}$ , $x = 1 2^{\circ}$ , $∠ A = 8 4^{\circ}$ .

Внешний угол при $C$ равен $13 9^{\circ}$ (продолжили основание). Угол при основании: $18 0^{\circ} - 13 9^{\circ} = 4 1^{\circ}$ .

Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают: делят $∠ A$ пополам, основание пополам и перпендикулярны ему. Поэтому $∠ B A M = \frac{∠ A}{2}$ , $∠ A MB = 9 0^{\circ}$ .

$∠ A = 8 8^{\circ}$ , $A M$ — медиана к основанию: $∠ B A M = 8 8^{\circ} : 2 = 4 4^{\circ}$ .

В любом треугольнике угол между биссектрисой и высотой из одной вершины равен полуразности двух других углов: $\frac{∣∠ B - ∠ C ∣}{2}$ .

Периметр и стороны

P = 2 b + a

b

— боковая сторона,

a

— основание равнобедренного треугольника

$P = 105$ , основание на $15$ больше боковой. Найти боковую.

Боковая $x$ , основание $x + 15$ : $x + x + (x + 15) = 105$ .
$3 x = 90$ , $x = 30$ .

$P = 79$ , основание $35$ : $2 b = 79 - 35 = 44$ , $b = 22$ .

Если стороны даны отношением $m : k : t$ , решаем $m x + k x + t x = P$ .

Проверяйте неравенство треугольника: для равнобедренного основание $< 2 \cdot$ боковая. Стороны $3, 3, 7$ треугольника не образуют.

Вспомогательные построения

Удвоение медианы. Медиану $A M$ продолжают за $M$ на её длину до точки $D$ .

△ A MB = △ D MC

BM = MC

A M = M D

, углы при

M

вертикальные

$∠ B = 5 9^{\circ}$ , $∠ C = 4 7^{\circ}$ . Найти $∠ A C D$ .

$△ A MB = △ D MC$ (1-й признак), значит $∠ MC D = ∠ B = 5 9^{\circ}$ .
$∠ A C D = ∠ A CB + ∠ BC D = 4 7^{\circ} + 5 9^{\circ} = 10 6^{\circ}$ .

Продолжить сторонуПоявляется внешний угол: он равен сумме двух не смежных с ним внутренних.

Провести биссектрису

∠ A L B = 18 0^{\circ} - ∠ B - \frac{∠ A}{2}

(

A L

— биссектриса).

Видите медиану и надо «связать» две стороны — удвойте медиану: получится пара равных треугольников.

Ещё задачи на углы треугольника

Внешние углы при $A$ и $B$ равны $10 5^{\circ}$ и $11 2^{\circ}$ : внутренние $7 5^{\circ}$ и $6 8^{\circ}$ , $∠ C = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} - 6 8^{\circ} = 3 7^{\circ}$ . Внешний угол $A C D$ при $∠ A = 4 6^{\circ}$ , $∠ B = 8 4^{\circ}$ : $4 6^{\circ} + 8 4^{\circ} = 13 0^{\circ}$ .
Биссектриса $A L$ , найти $∠ A L C$ : $∠ A = 18 0^{\circ} - 5 4^{\circ} - 7 6^{\circ} = 5 0^{\circ}$ , $∠ C A L = 2 5^{\circ}$ , $∠ A L C = 18 0^{\circ} - 7 6^{\circ} - 2 5^{\circ} = 7 9^{\circ}$ .
Равнобедренный $A B = A C$ : высота $A H$ к основанию — $∠ B A H = 9 0^{\circ} - ∠ B = 4 6^{\circ}$ при $∠ B = 4 4^{\circ}$ ; высота $B H$ к боковой стороне — $∠ A B H = 9 0^{\circ} - ∠ A = 4 2^{\circ}$ при $∠ A = 4 8^{\circ}$ ; биссектриса $B D$ угла при основании: при $∠ A = 7 2^{\circ}$ $∠ B = 5 4^{\circ}$ , $∠ A B D = 2 7^{\circ}$ , $∠ B D A = 18 0^{\circ} - 7 2^{\circ} - 2 7^{\circ} = 8 1^{\circ}$ .
Сумма вершинного и базового угла $12 9^{\circ}$ : из $∠ A + 2∠ B = 18 0^{\circ}$ вычтем $∠ A + ∠ B = 12 9^{\circ}$ — $∠ B = 5 1^{\circ}$ . Вершинный на $3 3^{\circ}$ больше: $(x + 33) + 2 x = 180$ , $x = 49$ , $∠ A = 8 2^{\circ}$ .
Стороны через отношение: боковая и основание $5 : 6$ , $P = 112$ : $5 x + 5 x + 6 x = 16 x = 112$ , $x = 7$ , основание $42$ . Основание на 4 меньше боковой, $P = 35$ : $3 x - 4 = 35$ , $x = 13$ , основание $9$ .

Тема 3 · Геометрия

Параллельные прямые

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Две колеи железной дороги никогда не встречаются — это параллельные прямые. Если их пересечь третьей прямой (секущей), образуется восемь углов, и между ними есть строгие связи.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначение: $a ∥ b$ .

c

— секущая. Углы 3, 4, 5, 6 лежат между прямыми (внутренние)

Углы при секущей

Пара	Где лежат	На рисунке	При $a ∥ b$
Накрест лежащие	между прямыми, по разные стороны от секущей	3 и 5; 4 и 6	равны
Соответственные	одинаково относительно своей прямой и секущей	1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8	равны
Односторонние	между прямыми, по одну сторону от секущей	3 и 6; 4 и 5	в сумме $18 0^{\circ}$

$a ∥ b$ , $∠3 = 4 6^{\circ}$ . Найти накрест лежащий $∠5$ , соответственный $∠7$ и односторонний $∠6$ .

$∠5 = ∠3 = 4 6^{\circ}$ (накрест лежащие).
$∠7 = ∠3 = 4 6^{\circ}$ (соответственные).
$∠6 = 18 0^{\circ} - 4 6^{\circ} = 13 4^{\circ}$ (односторонние).

Буквы-подсказки: накрест лежащие образуют «Z», соответственные — «F», односторонние — «П» (или «С»).

Признаки параллельности

Это обратные утверждения: по углам узнаём, что прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей
• накрест лежащие углы равны, или
• соответственные углы равны, или
• сумма односторонних углов равна $18 0^{\circ}$ ,
то прямые параллельны.

Односторонние углы при параллельных не равны (кроме случая $9 0^{\circ}$ и $9 0^{\circ}$ ) — они дополняют друг друга до $18 0^{\circ}$ .

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия:

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Аксиома — утверждение, которое принимают без доказательства. Эту аксиому связывают с пятым постулатом Евклида.

Тема 04 · Геометрия, углублённый уровень

Соотношения между сторонами и углами треугольника (углублённый уровень)

Потренироваться: задания по теме →

Неравенство треугольника Сумма углов треугольника

Простыми словами

Если «раскрыть» угол треугольника шире, противоположная сторона станет длиннее — как ножницы: чем шире раскрыты лезвия, тем дальше их концы. А три угла треугольника всегда делят между собой ровно $18 0^{\circ}$ .

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

сумма углов любого треугольника

Приём «одна доля»

Если углы относятся как $p : q : r$ , одна доля — $x$ , углы равны $p x, q x, r x$ :

(p + q + r) x = 18 0^{\circ} \Rightarrow x = \frac{18 0 ^{\circ}}{p + q + r}

p, q, r

— числа из отношения,

x

— величина одной доли

$∠ A : ∠ B : ∠ C = 19 : 17 : 24$ . Найти $∠ A$ .

Всего долей $19 + 17 + 24 = 60$ , одна доля $18 0^{\circ} : 60 = 3^{\circ}$ .
$∠ A = 19 \cdot 3^{\circ} = 5 7^{\circ}$ .

$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B : ∠ C = 2 : 7$ . Найти $∠ B$ .

$∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ , это $9$ долей по $1 5^{\circ}$ .
$∠ B = 2 \cdot 1 5^{\circ} = 3 0^{\circ}$ .

Известны сумма $S$ и разность $d$ двух углов: больший $= \frac{S + d}{2}$ , меньший $= \frac{S - d}{2}$ .

Внешний угол

Внешний угол — угол, смежный с углом треугольника (одну сторону продолжили за вершину).

Внешний угол при

C

равен

∠ A + ∠ B

1) Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
2) Внешний $+$ внутренний при той же вершине $= 18 0^{\circ}$ .
3) Сумма внешних углов (по одному при каждой вершине) $= 36 0^{\circ}$ .

Внешний угол при $C$ равен $7 7^{\circ}$ , $∠ A : ∠ B = 2 : 5$ . Найти $∠ A$ .

$∠ A + ∠ B = 7 7^{\circ}$ — это $7$ долей по $1 1^{\circ}$ .
$∠ A = 2 \cdot 1 1^{\circ} = 2 2^{\circ}$ .

Внешние углы при $A$ и $B$ равны $14 6^{\circ}$ и $13 2^{\circ}$ . Найти $∠ C$ .

$∠ A = 18 0^{\circ} - 14 6^{\circ} = 3 4^{\circ}$ , $∠ B = 18 0^{\circ} - 13 2^{\circ} = 4 8^{\circ}$ .
$∠ C = 18 0^{\circ} - 3 4^{\circ} - 4 8^{\circ} = 9 8^{\circ}$ .

Стороны и углы, неравенство треугольника

Сторона $BC$ лежит против $∠ A$ , $C A$ — против $∠ B$ , $A B$ — против $∠ C$ .

Против большей стороны лежит больший угол, против большего угла — большая сторона. Стороны и противолежащие им углы упорядочены одинаково.

$BC = 15$ , $C A = 14$ , $A B = 5$ . Наибольшая сторона $BC$ — наибольший угол против неё: $∠ A$ .
$∠ A = 8 9^{\circ}$ , $∠ B = 5 9^{\circ}$ , значит $∠ C = 3 2^{\circ}$ ; наибольший угол $A$ — наибольшая сторона $BC$ .

∣ a - b ∣ < c < a + b

неравенство треугольника:

a, b, c

— стороны

Оба знака строгие: при $c = a + b$ точки лежат на одной прямой. Если $a, b$ — целые, то целых значений третьей стороны ровно $2 \cdot min (a, b) - 1$ ; наибольшее $a + b - 1$ , наименьшее $∣ a - b ∣ + 1$ .

Стороны $4$ и $7$ : $3 < c < 11$ , целые $c = 4, 5, \dots, 10$ — это $7$ значений ( $2 \cdot 4 - 1 = 7$ ). Стороны $24$ и $19$ : наибольшее целое $c = 24 + 19 - 1 = 42$ .

Нельзя брать $c = a + b$ или $c = ∣ a - b ∣$ — неравенство строгое.

Прямоугольный треугольник

Острые углы в сумме дают $9 0^{\circ}$ . Гипотенуза — наибольшая сторона. Катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы; и обратно: если катет равен половине гипотенузы, против него угол $3 0^{\circ}$ .

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 80$ , $∠ A$ больше $∠ B$ на $3 0^{\circ}$ . Найти $A C$ .

$∠ A + ∠ B = 9 0^{\circ}$ , разность $3 0^{\circ}$ : $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ .
$A C$ лежит против $∠ B = 3 0^{\circ}$ : $A C = \frac{80}{2} = 40$ .

$∠ A : ∠ B = 8 : 7$ при $∠ C = 9 0^{\circ}$ : $15$ долей по $6^{\circ}$ , больший острый угол $4 8^{\circ}$ .

Половине гипотенузы равен катет, лежащий против $3 0^{\circ}$ , а не прилежащий к нему.

Тема 4 · Геометрия

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Потренироваться: задания по теме →

Неравенство треугольника Сумма углов треугольника

Простыми словами

Если оторвать у бумажного треугольника три уголка и сложить их вершинами вместе, получится ровно прямая линия — развёрнутый угол $18 0^{\circ}$ .

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

сумма углов любого треугольника

Два угла $7 0^{\circ}$ и $4 4^{\circ}$ . Третий: $18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 4 4^{\circ} = 6 6^{\circ}$ .

Внешний угол

Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из его углов.

Внешний угол при

C

равен

∠ A + ∠ B

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

$∠ A = 5 7^{\circ}$ , $∠ B = 5 6^{\circ}$ . Внешний угол при $C$ : $5 7^{\circ} + 5 6^{\circ} = 11 3^{\circ}$ . Проверка: $∠ C = 18 0^{\circ} - 11 3^{\circ} = 6 7^{\circ}$ , смежный с ним — $11 3^{\circ}$ ✓

Прямоугольный треугольник

Стороны у прямого угла — катеты, сторона против прямого угла — гипотенуза.

• Сумма острых углов равна $9 0^{\circ}$ .
• Гипотенуза — наибольшая сторона (лежит против угла $9 0^{\circ}$ ).
• Катет, лежащий против угла $3 0^{\circ}$ , равен половине гипотенузы.

Острый угол $6 5^{\circ}$ . Второй острый: $9 0^{\circ} - 6 5^{\circ} = 2 5^{\circ}$ .

Стороны и углы

Против большей стороны лежит больший угол; против большего угла лежит большая сторона. Против равных сторон — равные углы.

c < a + b, a < b + c, b < a + c

неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других

Существует ли треугольник со сторонами $5$ , $7$ , $11$ ? А $3$ , $4$ , $8$ ?

Достаточно проверить наибольшую сторону: $11 < 5 + 7 = 12$ — да.
$8 < 3 + 4 = 7$ — неверно, треугольника нет.

Если наибольшая сторона равна сумме двух других ( $2, 3, 5$ ), треугольника тоже нет: точки лежат на одной прямой.

Короткий путь всегда короче обходного: идти из $A$ в $B$ напрямую короче, чем через $C$ — это и есть неравенство треугольника.

Тема 05 · Геометрия, углублённый уровень

Составные задачи на вычисление углов и отрезков (углублённый уровень)

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Составная задача — это несколько простых, сцепленных вместе. Нужно найти «мостик»: общую сторону, вертикальные углы, равные треугольники или сумму $18 0^{\circ}$ — и по нему перейти от данных к ответу.

Обозначьте одну величину через $x$ , выразите через неё все подписи на чертеже и составьте уравнение: сумма углов треугольника $= 18 0^{\circ}$ , сумма сторон $= P$ , части развёрнутого угла $= 18 0^{\circ}$ .

$∠ A = x$ , $∠ B = x + 3 6^{\circ}$ , $∠ C = 2 x$ . Найти $∠ C$ .

$x + (x + 3 6^{\circ}) + 2 x = 18 0^{\circ}$ , $4 x = 14 4^{\circ}$ , $x = 3 6^{\circ}$ .
Спрашивают $∠ C = 2 x = 7 2^{\circ}$ , а не $x$ .

$∠ A = x$ , $∠ B = x + 2 3^{\circ}$ , $∠ C = x + 4 6^{\circ}$ : $3 x + 6 9^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , $∠ A = x = 3 7^{\circ}$ .

Равные треугольники переносят длины

Признаки равенства: по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трём сторонам. У равных треугольников равны все соответственные стороны и углы.

«Бабочка»:

A O = O D

BO = OC

∠ A OB = ∠ D OC

⇒

△ A OB = △ D OC

$A O = O D = 20$ , $BO = OC = 17$ , $A B = 14$ . Найти $P (D OC)$ .

$△ A OB = △ D OC$ по 1-му признаку (углы при $O$ вертикальные), значит $D C = A B = 14$ .
$P (D OC) = 20 + 17 + 14 = 51$ .

$A O = O D = 16$ , $BO = OC = 6$ , $P (A OB) = 35$ : $A B = 35 - 16 - 6 = 13$ , значит $D C = 13$ .

Периметр составной фигуры

Периметр — сумма только внешних сторон. Общая линия (диагональ, медиана) в периметр не входит.

P (A BC D) = P (A B D) + P (CB D) - 2 B D

диагональ

B D

вошла в оба периметра — вычитаем её дважды

$P (A B D) = 49$ , $P (CB D) = 52$ , $B D = 23$ : $P (A BC D) = 49 + 52 - 46 = 55$ .

$A B = A D$ , $BC = C D = 19$ , $P (A B D) = 56$ , $B D = 12$ . Найти $P (A BC D)$ .

$A B + A D = 56 - 12 = 44$ .
$P (A BC D) = 44 + 19 + 19 = 82$ .

Частая ошибка — сложить два периметра и забыть убрать общую сторону (или убрать её только один раз).

Углы в конфигурации из двух треугольников

Отрезок $A D$ ( $D$ на стороне $BC$ ) делит треугольник на два. Связи:

$∠ A D B + ∠ A D C = 18 0^{\circ}$ (смежные);
$∠ A D C = ∠ B + ∠ B A D$ (внешний угол $△ A B D$ );
если $A D$ — высота, то $∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}$ .

$∠ B = 6 1^{\circ}$ , $∠ B A D = 5 9^{\circ}$ : $∠ A D C = 6 1^{\circ} + 5 9^{\circ} = 12 0^{\circ}$ .

$A D$ — биссектриса, $∠ B = 5 4^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найти $∠ A D B$ .

$∠ A = 18 0^{\circ} - 5 4^{\circ} - 3 0^{\circ} = 9 6^{\circ}$ , $∠ B A D = 4 8^{\circ}$ .
$∠ A D B = 18 0^{\circ} - 5 4^{\circ} - 4 8^{\circ} = 7 8^{\circ}$ .

Как выбрать верное утверждение

Проверяйте каждый вариант теоремой, а не «на глаз» по чертежу.

Сравнить углыСравните противолежащие стороны: против большей стороны больший угол.

Сравнить стороныНайдите третий угол и сравните противолежащие углы.

Существует ли треугольникНаибольшая сторона меньше суммы двух других.

$BC = 11$ , $C A = 16$ , $A B = 18$ : против $A B$ лежит $∠ C$ , против $C A$ — $∠ B$ ; $18 > 16$ , значит $∠ C > ∠ B$ .
$∠ A = 2 3^{\circ}$ , $∠ B = 7 4^{\circ}$ ⇒ $∠ C = 8 3^{\circ} > ∠ A$ , значит $A B > BC$ .

«По двум углам» и «по трём углам» — не признаки равенства треугольников: такие треугольники могут быть разного размера.

Ещё разобранные конфигурации

Медиана равнобедренного ( $A B = A C$ ): $M$ — середина основания. $A B = 20$ , $A M = 12$ , $P (A BM) = 48$ → $BM = 48 - 20 - 12 = 16$ , $BC = 32$ . $A B = A C = 30$ , $P = 106$ → $BC = 46$ , $BM = 23$ . Медиана к основанию — ещё и биссектриса: $∠ B A M = ∠ C A M$ .
«Бабочка» ( $A O = O D$ , $BO = OC$ ): $△ A OB = △ D OC$ , поэтому $A O + BO = P (D OC) - D C = P (D OC) - A B = 35 - 13 = 22$ . Углы: вертикальные $∠ A OB = ∠ CO D$ ; из $△ D OC$ $∠ CO D = 18 0^{\circ} - 6 6^{\circ} - 7 7^{\circ} = 3 7^{\circ}$ , тогда $∠ OB A = 18 0^{\circ} - 5 9^{\circ} - 3 7^{\circ} = 8 4^{\circ}$ .
Высота $A D$ : $∠ C A D = 9 0^{\circ} - ∠ C = 4 3^{\circ}$ при $∠ C = 4 7^{\circ}$ ; $∠ B A C = ∠ B A D + ∠ C A D = 4 3^{\circ} + 4 3^{\circ} = 8 6^{\circ}$ .
Четырёхугольник с $A B = A D$ , $BC = C D$ : $P = 74$ , $BC = C D = 19$ → $A B = \frac{74 - 38}{2} = 18$ . Если $P (A B D) = 60$ , $A B = 19$ , $B D = 21$ , то $A D = 20$ и $BC + C D = P (A BC D) - A B - A D = 71 - 39 = 32$ . Треугольник $BC D$ равносторонний с $P = 30$ (стороны по 10), $A B = A D = 10$ → $P (A BC D) = 40$ .
Существует ли треугольник: из $11, 16, 34$ ; $8, 12, 21$ ; $12, 14, 26$ ; $4, 14, 15$ годится только $4, 14, 15$ ( $15 < 4 + 14$ ); у $12, 14, 26$ — равенство $26 = 12 + 14$ , это вырожденный случай.

Геометрия: теория

Оглавление

Углы и их биссектрисы (углублённый уровень)

Простыми словами

Смежные и вертикальные в одной конфигурации

Биссектрисы

Углы вокруг точки и уравнение

Ещё конфигурации с биссектрисами и лучами

Начальные геометрические сведения

Простыми словами

Длина отрезка

Углы

Биссектриса

Смежные углы в задачах

Параллельные прямые: углы при секущей (углублённый уровень)

Простыми словами

Три пары углов

Углы через отношение, сумму, разность

Точка между параллельными

Параллельные стороны и биссектрисы

Две секущие из одной точки

Треугольники

Простыми словами

Признаки равенства

Медиана, биссектриса, высота

Равнобедренный треугольник

Треугольники: равенство и вспомогательные построения (углублённый уровень)

Простыми словами

Равнобедренный треугольник

Периметр и стороны

Вспомогательные построения

Ещё задачи на углы треугольника

Параллельные прямые

Простыми словами

Углы при секущей

Признаки параллельности

Аксиома параллельных прямых

Соотношения между сторонами и углами треугольника (углублённый уровень)

Простыми словами

Приём «одна доля»

Внешний угол

Стороны и углы, неравенство треугольника

Прямоугольный треугольник

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Простыми словами

Внешний угол

Прямоугольный треугольник

Стороны и углы

Составные задачи на вычисление углов и отрезков (углублённый уровень)

Простыми словами

Равные треугольники переносят длины

Периметр составной фигуры

Углы в конфигурации из двух треугольников

Как выбрать верное утверждение

Ещё разобранные конфигурации