Начальные геометрические сведения

Точки, отрезки, лучи, углы. Теория и 500 заданий с проверкой (5 подтем по 100).

Простыми словами

Натянутая нить — модель прямой, её кусок между двумя узелками — отрезок, луч фонарика — луч: начало есть, конца нет. Из этих «кирпичиков» строится вся геометрия.

Прямая бесконечна в обе стороны, отрезок ограничен двумя точками, луч — одной

ТочкаНе имеет размеров. Обозначают заглавной буквой:

A

ПрямаяБесконечна в обе стороны:

a

или

A B

ОтрезокЧасть прямой между двумя точками — концами.

ЛучЧасть прямой с началом, бесконечная в одну сторону.

Длина отрезка

A B = A C + CB

если точка

C

лежит между

A

B

$C$ лежит на отрезке $A B$ , $A C = 9$ , $CB = 13$ . Найти $A B$ .

$A B = 9 + 13 = 22$ . Если известно $A B$ и одна часть, другую находим вычитанием: $CB = A B - A C$ .

Если $C$ — середина $A B$ , то $A C = CB = \frac{A B}{2}$ .

Углы

Угол — два луча с общим началом (вершиной). Измеряется в градусах. Развёрнутый угол ( $18 0^{\circ}$ ) — его стороны лежат на одной прямой; прямой — $9 0^{\circ}$ ; острый меньше $9 0^{\circ}$ ; тупой — от $9 0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ .

∠1 + ∠2 = 18 0^{\circ}

;

∠3 = ∠4

Смежные углы (одна сторона общая, две другие — продолжения друг друга) в сумме дают $18 0^{\circ}$ .
Вертикальные углы (стороны одного — продолжения сторон другого) равны.
Перпендикулярные прямые пересекаются под углом $9 0^{\circ}$ : $a ⊥ b$ .

Угол $14 2^{\circ}$ . Смежный с ним: $18 0^{\circ} - 14 2^{\circ} = 3 8^{\circ}$ . Вертикальный с ним: тоже $14 2^{\circ}$ .

Биссектриса

Биссектриса угла — луч из вершины, делящий угол пополам.

∠ A OC = ∠ COB = \frac{∠ A OB}{2}

OC

— биссектриса угла

A OB

$∠ A OB = 9 4^{\circ}$ , $OC$ — биссектриса: $∠ A OC = 9 4^{\circ} : 2 = 4 7^{\circ}$ . Если известна половина — угол вдвое больше.

«Смежные — сумма, вертикальные — равны»: смежные стоят рядом на прямой и вместе её «составляют», вертикальные смотрят друг на друга через вершину, как в зеркале.

Смежные углы в задачах

Через две точки можно провести одну прямую. Углы измеряют транспортиром.
Сумма смежных углов $18 0^{\circ}$ , потому что вместе они составляют развёрнутый угол. Пары $13 9^{\circ}$ и $4 1^{\circ}$ могут быть смежными, $14 2^{\circ}$ и $4 8^{\circ}$ — нет (сумма $19 0^{\circ}$ ). Угол, смежный с прямым, — тоже прямой; два равных смежных угла — по $9 0^{\circ}$ . Чем больше угол, тем меньше смежный с ним: смежный с $5 7^{\circ}$ ( $12 3^{\circ}$ ) больше смежного с $10 2^{\circ}$ ( $7 8^{\circ}$ ).
«Один на 18° больше другого»: $x + (x + 18) = 180$ , $2 x = 162$ , меньший $8 1^{\circ}$ . Отношение $1 : 2$ : $x + 2 x = 180$ , $x = 60$ , больший $12 0^{\circ}$ . Пропущенное число: $18 0^{\circ} - ? = 5 2^{\circ}$ → $12 8^{\circ}$ .
Жизненные задачи — это поиск смежного угла: знак наклонён к столбу под $6 7^{\circ}$ — с продолжением столба $11 3^{\circ}$ ; крышка ноутбука под $9 8^{\circ}$ к столешнице — с продолжением $8 2^{\circ}$ ; секция лестницы под $3 3^{\circ}$ к полу — $14 7^{\circ}$ .

Частая ошибка — считать сумму смежных углов $9 0^{\circ}$ : смежный с $7 9^{\circ}$ равен $18 0^{\circ} - 7 9^{\circ} = 10 1^{\circ}$ , а не $1 1^{\circ}$ .

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Один из смежных углов на 18° больше другого. Найдите меньший угол (в градусах):

Показать ответ

Ответ: 81
Решение. Пусть меньший угол равен x, тогда больший — x + 18°. Сумма смежных углов 180°, значит x + x + 18° = 180°, 2x = 180° − 18° = 162°, x = 81°. Проверка: 81° + 99° = 180°.

Верно ли, что углы 139° и 41° могут быть смежными?

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Сложим: 139° + 41° = 180°. Это ровно 180°, значит углы могут быть смежными.

Ученик искал угол, смежный с 79°, и записал: «Шаг 1: сумма смежных углов 90°. Шаг 2: 90° − 79° = 11°». На каком шаге ошибка?

на шаге 1
на шаге 2
ошибки нет
на обоих шагах

Показать ответ

Ответ: на шаге 1
Решение. Уже первый шаг неверен: смежные углы дают в сумме 180°, а не 90°. Второй шаг посчитан правильно, но по неверному правилу. Верно так: 180° − 79° = 101°.

Что больше: угол, смежный с 57°, или угол, смежный с 102°?

смежный с 57°
смежный с 102°
они равны
определить нельзя

Показать ответ

Ответ: смежный с 57°
Решение. Чем больше угол, тем меньше смежный ему: сумма-то одна и та же, 180°. Здесь 57° меньше 102°, значит смежный с ним больше. Проверка: 180° − 57° = 123°, а 180° − 102° = 78°.

Не вычисляя, определите: каким будет угол, смежный с углом 90°?

острый
прямой
тупой
развёрнутый

Показать ответ

Ответ: прямой
Решение. Угол 90° прямой, смежный ему тоже 90° — прямой.

Смежные углы относятся как 1 : 2. Найдите больший из них (в градусах):

Показать ответ

Ответ: 120
Решение. Всего частей 1 + 2 = 3. Одна часть: 180° : 3 = 60°. Больший угол — это 2 части: 60° · 2 = 120°.

Вставьте пропущенное число: 180° − ? = 52°

Показать ответ

Ответ: 128
Решение. Неизвестное вычитаемое находят вычитанием разности из уменьшаемого: 180° − 52° = 128°. Проверка: 180° − 128° = 52°.

Как называется часть прямой, ограниченная двумя точками?

Угол
Отрезок
Луч
Прямая

Показать ответ

Ответ: Отрезок
Решение. Отрезок — часть прямой между двумя точками (его концами).