Соотношения между сторонами и углами

Сумма углов, внешний угол, неравенство △. Теория и 500 заданий с проверкой (5 подтем по 100).

Простыми словами

Если оторвать у бумажного треугольника три уголка и сложить их вершинами вместе, получится ровно прямая линия — развёрнутый угол $18 0^{\circ}$ .

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

сумма углов любого треугольника

Два угла $7 0^{\circ}$ и $4 4^{\circ}$ . Третий: $18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 4 4^{\circ} = 6 6^{\circ}$ .

Внешний угол

Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из его углов.

Внешний угол при

C

равен

∠ A + ∠ B

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

$∠ A = 5 7^{\circ}$ , $∠ B = 5 6^{\circ}$ . Внешний угол при $C$ : $5 7^{\circ} + 5 6^{\circ} = 11 3^{\circ}$ . Проверка: $∠ C = 18 0^{\circ} - 11 3^{\circ} = 6 7^{\circ}$ , смежный с ним — $11 3^{\circ}$ ✓

Прямоугольный треугольник

Стороны у прямого угла — катеты, сторона против прямого угла — гипотенуза.

• Сумма острых углов равна $9 0^{\circ}$ .
• Гипотенуза — наибольшая сторона (лежит против угла $9 0^{\circ}$ ).
• Катет, лежащий против угла $3 0^{\circ}$ , равен половине гипотенузы.

Острый угол $6 5^{\circ}$ . Второй острый: $9 0^{\circ} - 6 5^{\circ} = 2 5^{\circ}$ .

Стороны и углы

Против большей стороны лежит больший угол; против большего угла лежит большая сторона. Против равных сторон — равные углы.

c < a + b, a < b + c, b < a + c

неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других

Существует ли треугольник со сторонами $5$ , $7$ , $11$ ? А $3$ , $4$ , $8$ ?

Достаточно проверить наибольшую сторону: $11 < 5 + 7 = 12$ — да.
$8 < 3 + 4 = 7$ — неверно, треугольника нет.

Если наибольшая сторона равна сумме двух других ( $2, 3, 5$ ), треугольника тоже нет: точки лежат на одной прямой.

Короткий путь всегда короче обходного: идти из $A$ в $B$ напрямую короче, чем через $C$ — это и есть неравенство треугольника.

Посмотреть и посчитать

Модели

Неравенство треугольника Сумма углов треугольника

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Против бо́льшей стороны треугольника лежит…

Меньший угол
Прямой угол
Равный угол
Больший угол

Показать ответ

Ответ: Больший угол
Решение. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Против бо́льшего угла лежит…

Средняя сторона
Меньшая сторона
Бо́льшая сторона
Высота

Показать ответ

Ответ: Бо́льшая сторона
Решение. Против большего угла лежит большая сторона.

В прямоугольном треугольнике самая длинная сторона — это…

Гипотенуза
Катет
Высота
Медиана

Показать ответ

Ответ: Гипотенуза
Решение. Гипотенуза лежит против прямого угла и является наибольшей стороной.

Катет, лежащий против угла 30°, равен…

Гипотенузе
Целой гипотенузе
Второму катету
Половине гипотенузы

Показать ответ

Ответ: Половине гипотенузы
Решение. Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна…

60°
45°
90°
180°

Показать ответ

Ответ: 90°
Решение. Так как прямой угол 90°, на два острых остаётся 90°.