Тема 04 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Сумма углов и отношение углов

Соотношения между сторонами и углами. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Если «раскрыть» угол треугольника шире, противоположная сторона станет длиннее — как ножницы: чем шире раскрыты лезвия, тем дальше их концы. А три угла треугольника всегда делят между собой ровно $18 0^{\circ}$ .

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

сумма углов любого треугольника

Приём «одна доля»

Если углы относятся как $p : q : r$ , одна доля — $x$ , углы равны $p x, q x, r x$ :

(p + q + r) x = 18 0^{\circ} \Rightarrow x = \frac{18 0 ^{\circ}}{p + q + r}

p, q, r

— числа из отношения,

x

— величина одной доли

$∠ A : ∠ B : ∠ C = 19 : 17 : 24$ . Найти $∠ A$ .

Всего долей $19 + 17 + 24 = 60$ , одна доля $18 0^{\circ} : 60 = 3^{\circ}$ .
$∠ A = 19 \cdot 3^{\circ} = 5 7^{\circ}$ .

$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B : ∠ C = 2 : 7$ . Найти $∠ B$ .

$∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ , это $9$ долей по $1 5^{\circ}$ .
$∠ B = 2 \cdot 1 5^{\circ} = 3 0^{\circ}$ .

Известны сумма $S$ и разность $d$ двух углов: больший $= \frac{S + d}{2}$ , меньший $= \frac{S - d}{2}$ .

Внешний угол

Внешний угол — угол, смежный с углом треугольника (одну сторону продолжили за вершину).

Внешний угол при

C

равен

∠ A + ∠ B

1) Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
2) Внешний $+$ внутренний при той же вершине $= 18 0^{\circ}$ .
3) Сумма внешних углов (по одному при каждой вершине) $= 36 0^{\circ}$ .

Внешний угол при $C$ равен $7 7^{\circ}$ , $∠ A : ∠ B = 2 : 5$ . Найти $∠ A$ .

$∠ A + ∠ B = 7 7^{\circ}$ — это $7$ долей по $1 1^{\circ}$ .
$∠ A = 2 \cdot 1 1^{\circ} = 2 2^{\circ}$ .

Внешние углы при $A$ и $B$ равны $14 6^{\circ}$ и $13 2^{\circ}$ . Найти $∠ C$ .

$∠ A = 18 0^{\circ} - 14 6^{\circ} = 3 4^{\circ}$ , $∠ B = 18 0^{\circ} - 13 2^{\circ} = 4 8^{\circ}$ .
$∠ C = 18 0^{\circ} - 3 4^{\circ} - 4 8^{\circ} = 9 8^{\circ}$ .

Стороны и углы, неравенство треугольника

Сторона $BC$ лежит против $∠ A$ , $C A$ — против $∠ B$ , $A B$ — против $∠ C$ .

Против большей стороны лежит больший угол, против большего угла — большая сторона. Стороны и противолежащие им углы упорядочены одинаково.

$BC = 15$ , $C A = 14$ , $A B = 5$ . Наибольшая сторона $BC$ — наибольший угол против неё: $∠ A$ .
$∠ A = 8 9^{\circ}$ , $∠ B = 5 9^{\circ}$ , значит $∠ C = 3 2^{\circ}$ ; наибольший угол $A$ — наибольшая сторона $BC$ .

∣ a - b ∣ < c < a + b

неравенство треугольника:

a, b, c

— стороны

Оба знака строгие: при $c = a + b$ точки лежат на одной прямой. Если $a, b$ — целые, то целых значений третьей стороны ровно $2 \cdot min (a, b) - 1$ ; наибольшее $a + b - 1$ , наименьшее $∣ a - b ∣ + 1$ .

Стороны $4$ и $7$ : $3 < c < 11$ , целые $c = 4, 5, \dots, 10$ — это $7$ значений ( $2 \cdot 4 - 1 = 7$ ). Стороны $24$ и $19$ : наибольшее целое $c = 24 + 19 - 1 = 42$ .

Нельзя брать $c = a + b$ или $c = ∣ a - b ∣$ — неравенство строгое.

Прямоугольный треугольник

Острые углы в сумме дают $9 0^{\circ}$ . Гипотенуза — наибольшая сторона. Катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы; и обратно: если катет равен половине гипотенузы, против него угол $3 0^{\circ}$ .

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 80$ , $∠ A$ больше $∠ B$ на $3 0^{\circ}$ . Найти $A C$ .

$∠ A + ∠ B = 9 0^{\circ}$ , разность $3 0^{\circ}$ : $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ .
$A C$ лежит против $∠ B = 3 0^{\circ}$ : $A C = \frac{80}{2} = 40$ .

$∠ A : ∠ B = 8 : 7$ при $∠ C = 9 0^{\circ}$ : $15$ долей по $6^{\circ}$ , больший острый угол $4 8^{\circ}$ .

Половине гипотенузы равен катет, лежащий против $3 0^{\circ}$ , а не прилежащий к нему.

Посмотреть и посчитать

Модели

Неравенство треугольника Сумма углов треугольника

Серия: 0