Тема 4 · Геометрия

Перпендикулярность плоскостей, теорема о трёх перпендикулярах

Признак перпендикулярности плоскостей и теорема о трёх перпендикулярах. 100 заданий на отработку.

Родителю: как помочь с темой «Перпендикулярность плоскостей, теорема о трёх перпендикулярах»

В теме 4 подтемы: Перпендикулярность плоскостей, Перпендикулярные плоскости, Теорема о трёх перпендикулярах, Перпендикулярные плоскости в кубе.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Стена и пол — перпендикулярные плоскости. Дверь крепится на петлях к вертикальному косяку, а косяк перпендикулярен полу, поэтому дверь в любом положении остаётся перпендикулярной полу. Это и есть признак перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости перпендикулярны, если угол между ними равен $9 0^{\circ}$ .
Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Свойство: прямая, лежащая в одной из перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости.

Отрезок между перпендикулярными плоскостями

A C ⊥ C D

α

B D ⊥ C D

β

; треугольники

A C D

A D B

прямоугольные

$B D$ лежит в $β$ и $B D ⊥ C D$ ⇒ $B D ⊥ α$ ⇒ $B D ⊥ A D$ . Дважды применяем теорему Пифагора:

A B^{2} = A C^{2} + C D^{2} + B D^{2}

A D^{2} = A C^{2} + C D^{2}

, затем

A B^{2} = A D^{2} + B D^{2}

$A C = 11$ , $B D = 10$ , $C D = 2$ : $A B^{2} = 121 + 4 + 100 = 225$ , $A B = 15$ .
$A B = 14$ , $A C = 4$ , $B D = 12$ : $C D^{2} = 196 - 16 - 144 = 36$ , $C D = 6$ .

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая, проведённая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.

Как применять: $M A ⊥$ плоскости, нужно расстояние от $M$ до прямой $BC$ этой плоскости. Опускаем $A H ⊥ BC$ — тогда и $M H ⊥ BC$ , а $M H = M A^{2} + A H^{2} www.reknow.ru$ .

Прямоугольник $A BC D$ , $M A = 28$ , $A B = 45$ : $A B ⊥ BC$ ⇒ $MB ⊥ BC$ , расстояние $MB = 784 + 2025 www.reknow.ru = 53$ .
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 8$ , $M A = 15$ : $A C ⊥ BC$ ⇒ $MC ⊥ BC$ , $MC = 225 + 64 www.reknow.ru = 17$ . Катет $BC = 27$ не нужен.

Расстояние до прямой — это не $MB$ «по умолчанию»: нужен перпендикуляр к прямой. В прямоугольнике $A BC D$ до прямой $BC$ это $MB$ , а до прямой $C D$ — уже $M D$ .

$A B = A C = 20$ , $BC = 24$ , $M A ⊥ (A BC)$ , $M A = 12$ . Расстояние от $M$ до $BC$ .

В равнобедренном треугольнике высота $A H$ к основанию — медиана: $B H = 12$ , $A H = 400 - 144 www.reknow.ru = 16$ .
По теореме о трёх перпендикулярах $M H ⊥ BC$ : $M H = 144 + 256 www.reknow.ru = 20$ .

Так же в квадрате $A BC D$ при $M A ⊥ (A BC D)$ : $A B ⊥ BC$ , значит $MB ⊥ BC$ — угол между $MB$ и $BC$ равен $9 0^{\circ}$ при любой длине $M A$ .

Перпендикулярные плоскости в кубе

Плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой. В кубе такие прямые — рёбра: каждое ребро перпендикулярно двум граням.

Сколько граней перпендикулярны плоскости $A B C_{1} D_{1}$ ? Она содержит ребро $A B$ , а $A B ⊥ (A A_{1} D_{1} D)$ и $A B ⊥ (B B_{1} C_{1} C)$ — это 2 грани.
$A B_{1} D_{1}$ и $BC C_{1} B_{1}$ : в плоскости $A B_{1} D_{1}$ нет прямой, перпендикулярной грани $BC C_{1} B_{1}$ (то есть параллельной $A B$ ), — угол между ними не прямой, нет.

«Три перпендикуляра»: 1) $M A$ к плоскости, 2) $A H$ к прямой, 3) $M H$ к прямой. Второй и третий перпендикулярны одной и той же прямой одновременно.

Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому диагональ грани перпендикулярна диагональному сечению, проходящему через другую диагональ этой грани: $A_{1} D ⊥ A D_{1}$ и $A_{1} D ⊥ A B$ , значит $A_{1} D ⊥ (A B C_{1} D_{1})$ . Плоскость $A_{1} B D$ содержит $A_{1} D$ — она перпендикулярна $A B C_{1} D_{1}$ . А $BC D_{1} A_{1} ⊥ A B B_{1} A_{1}$ , потому что содержит ребро $BC ⊥ (A B B_{1} A_{1})$ .

Факты о перпендикулярных плоскостях

Утверждение	Верно?
Две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны	нет: они могут пересекаться (две соседние стены перпендикулярны полу)
Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то линия их пересечения перпендикулярна третьей	да (угол комнаты — вертикален)
Плоскость, перпендикулярная прямой, перпендикулярна любой плоскости, проходящей через эту прямую	да
Если $β ⊥ α$ , а прямая $a ⊥ α$ имеет общую точку с $β$ , то $a$ лежит в $β$	да
Через прямую, не перпендикулярную плоскости, проходит одна плоскость, перпендикулярная данной	да
Угол между плоскостями — наибольший из двугранных углов	нет: берут меньший, он не больше $9 0^{\circ}$

Каждая грань куба (прямоугольного параллелепипеда) перпендикулярна четырём соседним граням и параллельна противоположной. Пар перпендикулярных граней: $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ . Диагональные сечения куба (например, $B D D_{1} B_{1}$ ) содержат боковое ребро, поэтому перпендикулярны основанию. Проекция наклонной — отрезок от основания перпендикуляра до точки, где наклонная пересекает плоскость.

Серия: 0

Где это пригодится: ЕГЭ — 1 заданиеЗадания экзамена 11 класса, которые опираются на этот материал — нажмите, чтобы раскрыть список

ЕГЭ, профиль, задание 14Стереометрическая задачаОткрыть →