Призма и параллелепипед — Геометрия, 11 класс

Объём, площадь поверхности, диагональ, сечения. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Стопка одинаковых листов бумаги — призма: площадь листа, умноженная на высоту стопки, даёт объём. Если стопку сдвинуть набок, она станет наклонной, но объём не изменится — листов столько же.

Призма — многогранник с двумя равными параллельными основаниями-многоугольниками и боковыми гранями-параллелограммами. Параллелепипед — призма с параллелограммом в основании; прямоугольный параллелепипед — все грани прямоугольники, его рёбра $a, b, c$ — измерения.

Объём

V = S_{осн} \cdot h

любая призма, в том числе наклонная

Здесь $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота (расстояние между основаниями, а не боковое ребро). Для прямоугольного параллелепипеда $S_{осн} = ab$ , $h = c$ :

V = ab c

объём прямоугольного параллелепипеда

Измерения $7, 8, 7$ : $V = 7 \cdot 8 \cdot 7 = 392$ .
$S_{осн} = 10$ , $h = 11$ : $V = 110$ .

У наклонной призмы высота меньше бокового ребра. В формулу идёт именно высота.

Поверхность и диагональ

A C^{2} = a^{2} + b^{2}

, затем

A C_{1}^{2} = A C^{2} + c^{2}

S = 2 (ab + b c + a c), d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

полная поверхность и диагональ прямоугольного параллелепипеда

Поверхность — три пары равных противоположных граней. Диагональ — двойная теорема Пифагора: сначала диагональ основания, затем сама диагональ. Боковая поверхность прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$ .

Измерения $2, 3, 6$ : $S = 2 (6 + 18 + 12) = 72$ , $d = 4 + 9 + 36 www.reknow.ru = 7$ .

Что меняется при подобии

Если все измерения увеличить в $k$ раз, площадь поверхности вырастет в $k^{2}$ раз, а объём — в $k^{3}$ раз.

Увеличили только одно ребро в $k$ раз — объём вырос в $k$ раз (как и $V = ab c$ ). Увеличили все три — в $k^{3}$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Объём куба Объём параллелепипеда

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Площадь основания прямой призмы равна 10, высота — 11. Найдите объём.

Показать ответ

Ответ: 110
Решение. V = S·h = 110.

Объём прямой призмы равен 45, площадь основания — 15. Найдите высоту.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. h = 45 : 15 = 3.

Объём куба равен 1331. Найдите площадь его поверхности.

Показать ответ

Ответ: 726
Решение. Ребро 11; S = 6·11² = 726.

В основании прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 12, высота призмы 12. Найдите объём.

Показать ответ

Ответ: 216
Решение. S = 18; V = 216.

В основании прямой призмы — квадрат со стороной 4, высота 5. Найдите площадь боковой поверхности.

Показать ответ

Ответ: 80
Решение. S = периметр на высоту: 4·4·5 = 80.

Все измерения параллелепипеда увеличили в 2 раза. Во сколько раз вырос объём?

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. Объём растёт как куб коэффициента.

Все измерения параллелепипеда увеличили в 3 раза. Во сколько раз выросла площадь поверхности?

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. Площадь растёт как квадрат коэффициента.

Верно ли, что объём параллелепипеда с измерениями 7, 10, 6 равен 23?

да
нет

Показать ответ

Ответ: нет
Решение. Измерения перемножают: 420.