Комбинации тел — Геометрия, 11 класс

Вписанные и описанные шары, цилиндры и кубы. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Мяч, который ровно помещается в коробку-куб, касается всех шести стенок — его диаметр равен ребру коробки. А если куб «спрятать» внутрь шара, вершины куба окажутся на поверхности шара, и диаметр шара станет равен диагонали куба.

Вписанное тело касается поверхности внешнего; описанное проходит через вершины (края) внутреннего. Главное — найти общий элемент двух тел: ребро, диаметр, диагональ.

Шар и куб

Слева — сечение через середины рёбер, справа — диагональное сечение куба

Шар вписан в куб

2 r = a

, то есть

r = \frac{a}{2}

Шар описан около куба

2 R = a 3 www.reknow.ru

(диагональ куба),

R^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4}

Шар в кубе с ребром 9: $r = 9 : 2 = 4, 5$ .
Шар около куба с ребром 2: $R = \frac{2 3 www.reknow.ru}{2} = 3 www.reknow.ru$ , $R^{2} = 3$ .

Диаметр описанного шара — диагональ куба $a 3 www.reknow.ru$ , а не диагональ грани $a 2 www.reknow.ru$ .

Другие комбинации

Комбинация	Связь размеров
Шар вписан в цилиндр	$r_{ц} = R$ , $h = 2 R$ ; $V_{ц} : V_{ш} = 3 : 2$
Цилиндр вписан в шар	$R^{2} = r^{2} + (\frac{h}{2})^{2}$
Цилиндр вписан в куб	$r = \frac{a}{2}$ , $h = a$
Куб вписан в цилиндр	$2 r = a 2 www.reknow.ru$ (диагональ грани), $h = a$
Конус вписан в цилиндр (общие основание и высота)	$V_{к} = \frac{1}{3} V_{ц}$
Параллелепипед вписан в шар	$(2 R)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

В цилиндр вписан шар радиуса 3. Найдите объём цилиндра, делённый на $π$ .

$r_{ц} = 3$ , $h = 6$ .
$V = π \cdot 9 \cdot 6 = 54 π$ , ответ $54$ .

Рисуйте не тела, а их сечение через центр: шар превращается в круг, куб — в квадрат или прямоугольник, цилиндр — в прямоугольник. Так видно, что чему равно.

Ещё две комбинации

Прямоугольный параллелепипед, описанный около цилиндра радиуса $r$ : основание — квадрат со стороной $2 r$ , высота равна высоте цилиндра.
Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом $R$ и высотой $H$ (основание цилиндра — на основании конуса), наибольший объём у цилиндра с радиусом $r = \frac{2}{3} R$ (и высотой $\frac{1}{3} H$ ). Это находят через производную функции $V (r) = π r^{2} H (1 - \frac{r}{R})$ .
Куб с ребром $a$ и вписанный шар: объёмы относятся как $a^{3} : \frac{π a ^{3}}{6} = \frac{6}{π} \approx 1, 91$ ; площади поверхностей — так же: $6 a^{2} : π a^{2}$ .

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

В куб с ребром 9 вписан шар. Найдите радиус шара.

Показать ответ

Ответ: 4,5
Решение. Диаметр шара равен ребру куба: R = 4,5.

Около куба с ребром 2 описан шар. Найдите квадрат его радиуса.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. Диаметр равен диагонали куба: (2R)² = 3·2², R² = 3.

В цилиндр вписан шар радиуса 4. Найдите высоту цилиндра.

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. Высота равна диаметру шара.

В цилиндр вписан шар радиуса 3. Найдите радиус основания цилиндра.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. Радиусы совпадают.

Шар радиуса 2 вписан в куб. Найдите объём куба.

Показать ответ

Ответ: 64
Решение. Ребро 4: V = 64.

В шар радиуса 7 вписан куб. Найдите квадрат ребра куба. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 65,33
Решение. Диагональ куба равна диаметру: 3a² = 196, a² = 65,33.

Около цилиндра радиуса 7 и высоты 2 описан прямоугольный параллелепипед. Найдите площадь его основания.

Показать ответ

Ответ: 196
Решение. Основание — квадрат со стороной 14: 196.

В конус с радиусом основания 8 и высотой 8 вписан цилиндр наибольшего объёма. Чему равен радиус основания цилиндра? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 5,33
Решение. Максимум достигается при r = ⅔·8 = 5,33.