Шар и сфера — Геометрия, 11 класс

Объём шара, площадь сферы, сечения шара. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Арбуз целиком — шар (тело), его корка-оболочка — сфера (поверхность). Для шара считают объём, для сферы — площадь.

Сфера — все точки пространства на расстоянии $R$ от центра $O$ . Шар — тело, ограниченное сферой (точки на расстоянии не больше $R$ ).

Формулы

V = \frac{4}{3} π R^{3}, S = 4 π R^{2}

объём шара и площадь сферы,

R

— радиус

$R = 3$ : $V = \frac{4}{3} π \cdot 27 = 36 π$ , ответ (делённый на $π$ ) — $36$ .
$R = 15$ : $S = 4 π \cdot 225 = 900 π$ , ответ — $900$ .

В объёме радиус в кубе и коэффициент $\frac{4}{3}$ , в площади — квадрат и $4$ . Если дан диаметр, сначала найдите $R = \frac{D}{2}$ .

Сечение шара

Сечение — круг радиуса

r

; через центр — большой круг радиуса

R

r^{2} = R^{2} - d^{2}

d

— расстояние от центра шара до секущей плоскости

Сечение шара плоскостью — всегда круг. Наибольший из них — большой круг, он проходит через центр ( $d = 0$ , $r = R$ ).

$R = 5$ , $d = 3$ : $r = 25 - 9 www.reknow.ru = 4$ , площадь сечения $16 π$ .

Как растут величины

Радиус × 2Площадь сферы × 4, объём шара × 8.

Радиус × $k$ Площадь ×

k^{2}

, объём ×

k^{3}

Площадь сферы равна площади четырёх больших кругов: $4 π R^{2} = 4 \cdot π R^{2}$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Объём шара

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Радиус шара 15. Найдите площадь сферы, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 900
Решение. S = 4πR² = 900π.

Объём шара 288π. Найдите радиус.

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. R³ = 216, значит R = 6.

Площадь сферы 324π. Найдите радиус.

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. R² = 81, значит R = 9.

Радиус шара увеличили вдвое. Во сколько раз вырос объём?

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. Объём растёт как куб коэффициента.

Радиус шара увеличили втрое. Во сколько раз выросла площадь сферы?

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. Площадь растёт как квадрат коэффициента.

Сечение шара радиуса 9 плоскостью на расстоянии 3 от центра. Найдите квадрат радиуса сечения.

Показать ответ

Ответ: 72
Решение. r² = 9² − 3² = 72.

Найдите объём полушара радиуса 6, делённый на π.

Показать ответ

Ответ: 144
Решение. Половина объёма шара: 144π.

Найдите площадь большого круга шара радиуса 3, делённую на π.

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. S = πR² = 9π.