Интерактивные тренажёры

Векторы в пространстве 11 класс

Разложение по базису, компланарность, скалярное произведение в многограннике. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий
01 Разложение вектора по трём некомпланарным100 заданий › 02 Коллинеарность и компланарность100 заданий › 03 Скалярное произведение в многограннике100 заданий › 04 Перпендикулярность и угол между векторами100 заданий › 05 Длины и углы через скалярный квадрат100 заданий ›
Учителю

Готовые работы по теме

Собраны заранее — одним нажатием: распечатать с ключом, раздать ученикам ссылкой или QR-кодом, поменять настройки. Номер набора постоянный: по этой ссылке всегда та же работа.

Самостоятельная

10 заданий · 2 варианта · с ключом

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Контрольная

15 заданий · онлайн, 40 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Диагностика перед темой

8 заданий · 15 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

теория этой темы, 8 заданий по подтемам и ключ — файлом DOCX, который можно править под себя.

Учителю о теме

Что проверяется

  • Разложение вектора по трём некомпланарным
  • Коллинеарность и компланарность
  • Скалярное произведение в многограннике
  • Перпендикулярность и угол между векторами
  • Длины и углы через скалярный квадрат

Содержание

На бумаге — не больше 25: дальше лист перестаёт быть работой на урок. Онлайн — до 40.

Не нравится задание в собранном листе — нажмите «заменить» под ним: вместо него встанет другое из той же подтемы.

Варианты

Разные задания при одинаковом наборе тем и одинаковом числе заданий.

Прохождение онлайн

Имя ученика никуда не отправляется: он вводит только номер по списку, а таблицу «номер → фамилия» видите только вы.

Оценка
Печать

Собранный лист можно скачать файлом Word — кнопка «Скачать DOCX» над листом: задания, место под решение и ключ, всё редактируется.

Печатается над каждым вариантом. Хранится только в этом браузере, в ссылку не попадает.

По одному и тому же номеру собирается та же работа — ссылку можно сохранить и вернуться к ней позже.

Классы, выданные работы и результаты учеников по кодам — в журнале учителя: без регистрации, хранится только на этом компьютере.

Выберите тему, чтобы начать.

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

Векторы a(m; 6; −6) и b(3; n; −6) коллинеарны. Найдите m + n.
Показать ответ
Ответ: 9
Решение. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны: b = k·a. По третьей координате k = −6 : (−6) = 1.
m = 3 : 1 = 3, n = 1·6 = 6.
m + n = 9.
Какой из векторов перпендикулярен одновременно векторам a(−1; 3; −1) и b(−3; 3; 2)?
  • (−9; 5; −6)
  • (−5; −9; −6)
  • (9; −5; −6)
  • (−9; −5; −6)
Показать ответ
Ответ: (−9; −5; −6)
Решение. Ищем n(x; y; z) из системы n·a = 0, n·b = 0; одно из решений — (9; 5; 6) (векторное произведение a × b, делённое на общий множитель).
Проверка (−9; −5; −6): с a — 0, с b — 0.
У остальных вариантов хотя бы одно скалярное произведение не равно 0. Ответ: (−9; −5; −6).
Векторы a, b, c имеют длины 3, 1, 3, и угол между любыми двумя из них равен 120°. Найдите квадрат длины вектора −a + b + 2·c.
Показать ответ
Ответ: 61
Решение. a·b = −1,5, b·c = −1,5, a·c = −4,5.
|−a + b + 2·c|² = 9 + 1 + 36 + 2·(1,5 − 3 + 9) = 61.
Ответ: 61.