Тема 02 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 3 из 5
Скалярное произведение в многограннике
Векторы в пространстве. 100 заданий.
Простыми словами
Чтобы объяснить, как дойти из одного угла комнаты в другой, достаточно трёх направлений: «вперёд», «вправо», «вверх» — и сколько шагов в каждом. Три таких направления в пространстве — это базис, а число шагов — координаты вектора.
Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых (или на одной). Компланарные — параллельны одной плоскости. Три некомпланарных вектора образуют базис: любой вектор единственным образом раскладывается так: .
Разложение по трём некомпланарным векторам
— середина . Разложите , найдите .
- Удобно идти через : .
- , .
- , значит .
— центр грани . ; .
Любой вектор : «конец минус начало», где оба вектора идут из вершины базиса .
Коллинеарность и компланарность
- и коллинеарны: по третьей координате , значит , , .
- , , компланарны: , .
Скалярное произведение
- : , .
- , : , , ; , .
В многограннике выберите базис из трёх рёбер одной вершины и составьте «таблицу умножения». В правильном тетраэдре с ребром рёбра из одной вершины образуют углы , поэтому их попарные произведения равны .
Правильный тетраэдр с ребром 8; — середина , — середина . Найдите .
- Базис из : , , ; квадраты — 64, попарные произведения — 32.
- , .
- .
Ребро 2, — середина : .
Длины и углы через скалярный квадрат
- , , угол : .
- Длины , все углы : , , . .
Скалярное произведение векторов, выходящих не из одной точки: угол берут между векторами, отложенными от одной точки. Вектор и образуют угол .