Подобие тел — Геометрия, 11 класс

Отношение площадей и объёмов подобных тел. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Возьмём кубик и куб вдвое больше. Чтобы сложить большой куб, понадобится 8 маленьких (2 в длину, 2 в ширину, 2 в высоту), а чтобы оклеить его — в 4 раза больше бумаги. Длины выросли в 2 раза, площади — в $2^{2} = 4$ , объёмы — в $2^{3} = 8$ .

Тела подобны, если одно получается из другого увеличением (уменьшением) всех размеров в одно и то же число раз $k$ — коэффициент подобия.

Главное правило

Ребро вдвое больше — объём в 8 раз больше

Величина	Во сколько раз меняется	Примеры
Длины	$k$	рёбра, радиусы, высоты, диагонали
Площади	$k^{2}$	поверхность, сечения, грани
Объёмы	$k^{3}$	объём, масса однородного тела

\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}, \frac{V _{2}}{V _{1}} = k^{3}

для любых подобных тел — не только кубов и шаров

Разберём задачи

Все размеры увеличили в 5 раз — объём вырос в $5^{3} = 125$ раз.
Все размеры увеличили в 6 раз — площадь поверхности выросла в $6^{2} = 36$ раз.
Объём вырос в 8 раз — размеры выросли в $3 8 www.reknow.ru = 2$ раза, а площадь — в $2^{2} = 4$ раза.

Обратный ход: от объёма к длине — кубический корень, от площади к длине — квадратный. Если объём вырос в 27 раз, длины выросли в 3, а не в 9 раз.

Модель в масштабе $1 : 100$ имеет объём в $10 0^{3}$ = миллион раз меньше оригинала — поэтому маленькие модели такие лёгкие.

Степень = размерность: длина — 1 измерение ( $k^{1}$ ), площадь — 2 ( $k^{2}$ ), объём — 3 ( $k^{3}$ ).

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Все размеры тела увеличили в 5 раза. Во сколько раз вырос объём?

Показать ответ

Ответ: 125
Решение. Объём растёт как k³ = 125.

Все размеры тела увеличили в 6 раза. Во сколько раз выросла площадь поверхности?

Показать ответ

Ответ: 36
Решение. Площадь растёт как k² = 36.

Объём тела 64. Найдите объём подобного тела с коэффициентом подобия 10.

Показать ответ

Ответ: 64000
Решение. 64 · 1000 = 64000.

Площадь поверхности тела 4. Найдите площадь поверхности подобного тела с коэффициентом подобия 6.

Показать ответ

Ответ: 144
Решение. 4 · 36 = 144.

Объёмы подобных тел относятся как 1 : 216. Найдите коэффициент подобия.

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. ∛216 = 6.

Площади поверхностей подобных тел относятся как 1 : 25. Найдите коэффициент подобия.

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. √25 = 5.

Объём конуса 8. Найдите объём конуса, у которого все размеры вдвое меньше.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Объём уменьшается в 2³ = 8 раз: 1.

Два шара имеют радиусы 1 и 6. Во сколько раз объём второго больше?

Показать ответ

Ответ: 216
Решение. Отношение объёмов 6³ = 216.