Неравенства: квадратные, метод интервалов, системы

Q: Когда в неравенстве меняется знак?

Только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. При переносе слагаемых через знак неравенства он не меняется — это обычное сложение.

Q: Как понять, какой промежуток брать в ответе?

Подставьте любое число из промежутка в исходное неравенство. Если оно выполняется — промежуток идёт в ответ. Это надёжнее, чем запоминать правило чередования знаков.

Q: Входят ли корни в ответ?

При строгом знаке () не входят, при нестрогом (≤ или ≥) входят. На числовой прямой это выколотая и закрашенная точка соответственно.

Решение квадратных неравенств по графику, метод интервалов, системы линейных неравенств на числовой прямой. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Уравнение ищет точку, где выражение равно нулю, а неравенство — целый промежуток, где оно больше или меньше нуля. Поэтому ответ неравенства — обычно луч или отрезок на числовой прямой.

Запись	На прямой	Промежуток
$x > 2$	2 — пустая точка	$(2; + \infty)$
$x \leq 2$	2 — закрашенная точка	$(- \infty; 2]$
$- 1 < x \leq 3$	от пустой к закрашенной	$(- 1; 3]$

Линейное неравенство

Решается как уравнение $a x + b = 0$ , с одним правилом:

При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$- 6 x - 1 \leq 35$ , наименьшее целое решение.

$- 6 x \leq 36$ .
Делим на $- 6$ и переворачиваем знак: $x \geq - 6$ .
$- 6$ входит (знак нестрогий) — наименьшее целое $- 6$ .

$4 x - 9 < 7 \Rightarrow 4 x < 16 \Rightarrow x < 4$ . Число $4$ не входит, наибольшее целое — $3$ .

$- 2 x > 6$ даёт $x < - 3$ , а не $x > - 3$ .

Квадратное неравенство

Найдём корни трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ и посмотрим, где парабола выше или ниже оси $O x$ .

x^{2} - x - 2 \geq 0

при

x \leq - 1

или

x \geq 2

$a > 0$ , корни $x_{1} < x_{2}$	Решение
$a x^{2} + b x + c > 0$	$x < x_{1}$ или $x > x_{2}$ (вне корней)
$a x^{2} + b x + c < 0$	$x_{1} < x < x_{2}$ (между корнями)

При $a < 0$ ответы меняются местами — или умножим на $- 1$ , перевернув знак. Если корней нет, знак трёхчлена везде совпадает со знаком $a$ .

$- x^{2} + 5 x - 6 > 0$ : корни $2$ и $3$ , ветви вниз, парабола выше оси между корнями. Ответ: $2 < x < 3$ .

$x^{2} - 4 < 0$ — это $- 2 < x < 2$ , а не « $x < \pm 2$ ».

Метод интервалов

Привести к виду $(x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots > 0$ (или $<$ , $\geq$ , $\leq$ ).
Отметить нули множителей на прямой.
Знак на самом правом промежутке — «+» (все скобки положительны).
Справа налево чередовать знаки. Через корень чётной кратности, например у $(x - 3)^{2}$ , знак не меняется.
Взять промежутки нужного знака; нули знаменателя всегда выколоты.

(x + 4) (x + 1) (x - 2) > 0

при

- 4 < x < - 1

или

x > 2

Сколько целых в левом ограниченном промежутке решения $(x + 4) (x + 1) (x - 2) > 0$ ? Промежуток $(- 4; - 1)$ , концы не входят: $- 3, - 2$ — ответ $2$ .

Наименьшее целое решение $(x + 7) (x + 4) (x + 1) > 0$ : решение $(- 7; - 4) \cup (- 1; + \infty)$ , ответ $- 6$ .

Система неравенств

Решаем каждое неравенство, отмечаем решения на одной прямой и берём пересечение — общую часть. Нет общей части — нет решений.

N = b - a + 1

число целых на отрезке

[a; b]

с целыми концами (оба конца входят)

$x \geq - 4$ и $x \leq 3$ : общая часть $[- 4; 3]$ , целых решений $3 - (- 4) + 1 = 8$ .

Система ${$ — «и», пересечение. Совокупность $[$ — «или», объединение.

Посмотреть и посчитать

Модели

Квадратичная функция

О теме

Неравенство решается почти как уравнение — и именно это «почти» приносит больше всего ошибок. Отличие одно, но принципиальное: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак разворачивается.

Для квадратных неравенств удобен метод интервалов: найти корни соответствующего уравнения, отметить их на прямой и определить знак выражения на каждом промежутке. Достаточно проверить знак в одной точке интервала — внутри промежутка он не меняется.

Ошибка, которая встречается чаще прочих: ответ записывают в виде неравенства, когда просили промежуток, или наоборот. Вторая: путают строгий и нестрогий знак — при ≤ корни входят в ответ и обозначаются закрашенной точкой, при < не входят.

В ОГЭ неравенства встречаются и сами по себе, и внутри других задач — например, когда в текстовой задаче нужно определить, при каких значениях условие выполняется. Дальше, в 10–11 классах, тот же метод интервалов работает для дробных и логарифмических неравенств.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Решите неравенство и укажите НАИМЕНЬШЕЕ целое решение:

−6x − 1 ≤ 35

Показать ответ

Ответ: -6
Решение. −6x ≤ 35 + 1 = 36; делим на −6 (знак меняется, коэффициент отрицательный): x ≥ −6. Наименьшее целое решение: −6.

Решите неравенство и укажите НАИБОЛЬШЕЕ целое решение:

4x − 9 < 7

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. 4x < 7 + 9 = 16; делим на 4: x < 4. Наибольшее целое решение: 3.

Решите неравенство и укажите НАИБОЛЬШЕЕ целое решение:

6x − 6 < −30

Показать ответ

Ответ: -5
Решение. 6x < −30 + 6 = −24; делим на 6: x < −4. Наибольшее целое решение: −5.

Частые вопросы

Когда в неравенстве меняется знак?

Только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. При переносе слагаемых через знак неравенства он не меняется — это обычное сложение.

Как понять, какой промежуток брать в ответе?

Подставьте любое число из промежутка в исходное неравенство. Если оно выполняется — промежуток идёт в ответ. Это надёжнее, чем запоминать правило чередования знаков.

Входят ли корни в ответ?

При строгом знаке (< или >) не входят, при нестрогом (≤ или ≥) входят. На числовой прямой это выколотая и закрашенная точка соответственно.