Навык · Алгебра, 9 класс

Квадратное неравенство: решение через параболу

Как решить ax² + bx + c > 0 (< 0) по корням и направлению ветвей параболы.

Правило за 30 секундНайдите корни трёхчлена ax² + bx + c. При a > 0 ветви параболы вверх: трёхчлен положителен вне отрезка между корнями и отрицателен между ними. При a < 0 — наоборот. Если корней нет, знак трёхчлена везде совпадает со знаком a.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Неравенство $x^{2} - x - 2 \geq 0$ спрашивает: где парабола $y = x^{2} - x - 2$ не ниже оси $O x$ ? Нарисуем её схематично — ответ читается прямо с рисунка.

a = 1 > 0

: ветви вверх. Трёхчлен положителен вне корней, отрицателен между ними

Ответ: $x \leq - 1$ или $x \geq 2$ . Корни входят, потому что неравенство нестрогое ( $\geq$ ).

Практика ›закрепить задачами по теме

Алгоритм

Перенести всё в одну сторону: $a x^{2} + b x + c$ сравниваем с нулём.
Найти корни $x_{1} < x_{2}$ (через дискриминант или по Виету).
Посмотреть на знак $a$ : $a > 0$ — ветви вверх, $a < 0$ — вниз.
Нарисовать схему и выбрать промежутки нужного знака. При $\geq$ и $\leq$ корни включаем, при $>$ и $<$ — нет.

$a > 0$ , два корня	Решение
$a x^{2} + b x + c > 0$	$x < x_{1}$ или $x > x_{2}$ (вне корней)
$a x^{2} + b x + c < 0$	$x_{1} < x < x_{2}$ (между корнями)

При $a < 0$ ответы меняются местами. Можно умножить неравенство на $- 1$ , перевернув знак, и решать с $a > 0$ .

Если $D < 0$ , парабола целиком выше или ниже оси: знак трёхчлена при всех $x$ совпадает со знаком $a$ . Значит, решение — все числа или ни одного.

Практика ›закрепить задачами по теме

Разберём задания

Решим $- x^{2} + 5 x - 6 > 0$ .

Корни $- x^{2} + 5 x - 6 = 0 ⟺ x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ .
$a = - 1 < 0$ — ветви вниз, парабола выше оси между корнями.
Ответ: $2 < x < 3$ .

$x^{2} - 4 < 0$ — это не « $x < \pm 2$ ». При $a > 0$ трёхчлен отрицателен между корнями: $- 2 < x < 2$ .

$x^{2} + 1 > 0$ : корней нет, но это не значит «нет решений». $a > 0$ , парабола целиком над осью — ответ: любое $x$ .

Ветви вверх ( $a > 0$ ) — парабола похожа на улыбку: «плюс» по краям, «минус» в середине.

Навык — часть темы «Неравенства: квадратные, метод интервалов, системы». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 9 класс ›

Серия: 0

Квадратное неравенство: решение через параболу

Простыми словами

Алгоритм

Разберём задания

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю