Квадратичная функция и парабола

Вершина параболы, направление ветвей, нули функции, наибольшее и наименьшее значение, формула по графику. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Брошенный мяч летит по дуге: поднимается, достигает высшей точки и опускается. Такая дуга — парабола, график квадратичной функции. Самая высокая (или низкая) точка — вершина.

Квадратичная функция — функция вида $y = a x^{2} + b x + c$ , где $a \neq = 0$ ; $a$ , $b$ , $c$ — числа (коэффициенты). Её график — парабола.

$a > 0$ Ветви вверх, в вершине — наименьшее значение, наибольшего нет.

$a < 0$ Ветви вниз, в вершине — наибольшее значение, наименьшего нет.

Вершина и ось симметрии

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0})

x_{0}

— абсцисса вершины,

y_{0}

— ордината (подставить

x_{0}

в формулу)

Прямая $x = x_{0}$ — ось симметрии параболы: точки графика, симметричные относительно неё, имеют равные $y$ .

y = x^{2} - 2 x - 3 = (x - 1)^{2} - 4

: вершина

(1; - 4)

, нули

- 1

3

, с осью

O y

— в точке

c = - 3

$y = - 2 x^{2} + 8 x + 8$ : $x_{0} = - \frac{8}{2 \cdot ( - 2 )} = 2$ .
$y = - 2 x^{2} - 12 x + 2$ : $x_{0} = - \frac{- 12}{- 4} = - 3$ .

В формуле $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ два знака: минус перед дробью и знак самих $a$ и $b$ . Считайте по шагам: сначала $2 a$ , потом $- b$ , потом делите.

Наибольшее и наименьшее значение

Экстремум квадратичной функции — это $y_{0}$ , ордината вершины.

$y = - x^{2} - 6 x - 8$ (ветви вниз). Наибольшее значение?

$x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot ( - 1 )} = - 3$ .
$y_{0} = - 9 + 18 - 8 = 1$ . Ответ: $1$ .

Так же для $y = - 2 x^{2} + 8 x - 5$ : $x_{0} = 2$ , $y_{0} = - 8 + 16 - 5 = 3$ .

Ответ — значение функции $y_{0}$ , а не $x_{0}$ . И при $(- 3)^{2}$ квадрат положителен: $- x^{2}$ при $x = - 3$ равно $- 9$ .

Нули функции

Нули — абсциссы точек пересечения с осью $O x$ , корни уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ . Их число зависит от дискриминанта $D = b^{2} - 4 a c$ :

Дискриминант	Пересечение с осью $O x$
$D > 0$	две точки
$D = 0$	одна точка (вершина на оси)
$D < 0$	нет точек пересечения

С осью $O y$ парабола пересекается всегда в точке $(0; c)$ — подставьте $x = 0$ . Нули симметричны относительно оси: $x_{0} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .

Формула по графику

y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}

вид «через вершину»:

(x_{0}; y_{0})

— вершина,

a

— «крутизна» и направление ветвей

По рисунку найти вершину: например $(1; 4)$ — тогда $y = a (x - 1)^{2} + 4$ .
Направление ветвей даёт знак $a$ .
Значение $a$ : сдвинуться от вершины на $1$ вправо — график поднимется (опустится) на $∣ a ∣$ клеток. У $y = 2 (x - 3)^{2} - 3$ от вершины $(3; - 3)$ шаг вправо даёт подъём на 2.

$(x - 3)^{2}$ — сдвиг вправо на 3, $(x + 3)^{2}$ — влево. Знак в скобке противоположен координате вершины.

« $a$ — куда ветви, $c$ — где пересекает $O y$ , $- \frac{b}{2 a}$ — где вершина».

Посмотреть и посчитать

Модели

Квадратичная функция

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите абсциссу вершины параболы (координату x₀):

y = −2x² + 8x + 8

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. x₀ = −b2a = −82 · −2 = −8 / −4 = 2.

Ветви параболы направлены вниз. Найдите наибольшее значение функции:

y = −x² − 6x − 8

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. x₀ = −−62 · −1 = −3; y₀ = −1 · (−3)² + (−6) · (−3) + (−8) = 1. Так как a = −1, ветви направлены вниз, значит это наибольшее значение.

Ветви параболы направлены вверх. Найдите наименьшее значение функции:

y = 2x² + 12x + 24

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. x₀ = −122 · 2 = −3; y₀ = 2 · (−3)² + (12) · (−3) + (24) = 6. Так как a = 2, ветви направлены вверх, значит это наименьшее значение.