Интерактивные тренажёры

Функции и их свойства 9 класс

Область определения, чётность, кусочные функции, графики с модулем. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

Найдите область определения функции:

y = √(x² − 5x − 6) + 1√x

(6; +∞)
[6; +∞)
(0; 6]
(−∞; −1] ∪ [6; +∞)

Показать ответ

Ответ: [6; +∞)
Решение. 1) Первый корень: x² − 5x − 6 ≥ 0, корни −1 и 6, ветви вверх — x ≤ −1 или x ≥ 6.
2) Корень в знаменателе: подкоренное выражение строго положительно, x > 0.
3) Общая часть: [6; +∞).

При каком значении a функция является чётной?

y = x⁴ + (a + 2)x³ + (a² − 4)x + 9

Показать ответ

Ответ: -2
Решение. 1) Многочлен задаёт чётную функцию, только если все коэффициенты при нечётных степенях x (x³ и x) равны нулю.
2) a + 2 = 0 даёт a = −2; a² − 4 = 0 даёт a = ±2.
3) Оба условия выполняются только при a = −2.

Найдите f(−1) + f(6):

f(x) = x² + 3x − 7, если x ≤ 3;
f(x) = −2x + 3, если x > 3.

Показать ответ

Ответ: -18
Решение. 1) −1 ≤ 3, берём первую формулу: f(−1) = −9.
2) 6 > 3, берём вторую: f(6) = −9.
3) −9 + (−9) = −18.

При каком значении a уравнение имеет ровно три корня?

|x² − 12x + 32| = a

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. 1) Нули трёхчлена 4 и 8, вершина (6; −4). После отражения нижней части графика вверх вершина превращается в «горб» высотой 4.
2) Ровно три общие точки у прямой y = a бывают, только когда она проходит через вершину «горба».
3) a = 4.

Как получить график функции y = (x + 7)² − 5 из графика y = x²?

сдвинуть на 7 вправо и на 5 вверх
сдвинуть на 7 влево и на 5 вверх
сдвинуть на 7 влево и на 5 вниз
сдвинуть на 7 вправо и на 5 вниз

Показать ответ

Ответ: сдвинуть на 7 влево и на 5 вниз
Решение. График y = f(x − m) + n получается из графика y = f(x) сдвигом на m по оси Ox (вправо при m > 0) и на n по оси Oy. Здесь m = −7, n = −5: сдвинуть на 7 влево и на 5 вниз.