Тема 01 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Чётность и нечётность

Функции и их свойства. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Функция — это «машина»: даём $x$ , получаем одно число $y$ . Но не всякое $x$ машина принимает (нельзя делить на ноль, нельзя извлечь корень из минуса) — так появляется область определения. А по формуле часто видно, как устроен график: симметричен ли он, где «сломан», куда сдвинут.

Множество всех $x$ , при которых формула имеет смысл. Ограничения:

$A www.reknow.ru$ — нужно $A \geq 0$ ;
$\frac{1}{B}$ — нужно $B \neq = 0$ ;
$\frac{1}{A www.reknow.ru}$ — нужно $A > 0$ (строго!);
$\frac{A}{B} www.reknow.ru$ — нужно $\frac{A}{B} \geq 0$ : метод интервалов, нули $B$ выколоты.

Все ограничения выписывают сразу, решают по отдельности и берут общую часть.

Найдите область определения: $y = x^{2} - 5 x - 6 www.reknow.ru + \frac{1}{x www.reknow.ru}$ .

$x^{2} - 5 x - 6 \geq 0$ : корни $- 1$ и $6$ , ветви вверх, значит $x \leq - 1$ или $x \geq 6$ .
$x > 0$ (корень в знаменателе).
Общая часть: $[6; + \infty)$ .

Чётность и нечётность

Чётная

f (- x) = f (x)

. График симметричен относительно оси

O y

. Примеры:

x^{2}

x^{4} + a x^{2} + b

∣ x ∣

Нечётная

f (- x) = - f (x)

. График симметричен относительно начала координат. Примеры:

x^{3} - a x

x ∣ x ∣

\frac{x ^{2} + a}{x}

Обязательное условие — область определения симметрична относительно нуля (у $x www.reknow.ru$ её нет, поэтому $x www.reknow.ru$ ни чётная, ни нечётная). Нечётная функция, определённая в нуле, имеет $f (0) = 0$ .

У многочлена: только чётные степени $x$ (и свободный член) — чётная функция; только нечётные степени без свободного члена — нечётная.

При каком $a$ функция $y = x^{4} + (a + 2) x^{3} + (a^{2} - 4) x + 9$ чётная?

Нечётные степени должны исчезнуть: $a + 2 = 0$ и $a^{2} - 4 = 0$ .
Первое даёт $a = - 2$ , второе $a = \pm 2$ . Общее: $a = - 2$ .

$y = x^{3} - 8$ — ни чётная, ни нечётная: $f (- x) = - x^{3} - 8$ , это не $f (x)$ и не $- f (x) = - x^{3} + 8$ . Свободный член «портит» нечётность.

Кусочно заданные функции

Функция задана разными формулами на разных промежутках. Сначала смотрим, в какой промежуток попал $x$ , потом подставляем в нужную формулу.

$f (x) = {x^{2} + 3 x - 7, - 2 x + 3, x \leq 3 x > 3$ . Найдите $f (- 1) + f (6)$ .

$- 1 \leq 3$ — первая формула: $1 - 3 - 7 = - 9$ .
$6 > 3$ — вторая: $- 12 + 3 = - 9$ .
$f (- 1) + f (6) = - 18$ .

В уравнении $f (x) = c$ корни каждой формулы проверяют: лежат ли они в «своём» промежутке. Чужие корни отбрасывают.

Функция непрерывна в точке стыка $a$ , если обе формулы дают там одно значение $f (a)$ .

Графики с модулем

$y = ∣ f (x) ∣$ Часть графика под осью

O x

отражается вверх.

$y = f (∣ x ∣)$ Правая половина (

x \geq 0

) остаётся и отражается влево относительно

O y

$∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣ + ∣ x - c ∣$ Наименьшее значение — в средней точке (

a \leq b \leq c

— в

x = b

Часть параболы под осью (пунктир) отражена вверх; прямая через вершину «горба» даёт ровно 3 общие точки

У $y = ∣ x^{2} + b x + c ∣$ между нулями появляется «горб» высотой $\frac{∣ D ∣}{4}$ (для $a = 1$ ), где $D = b^{2} - 4 c$ . Уравнение $∣ x^{2} + b x + c ∣ = a$ имеет ровно 3 корня, когда прямая $y = a$ проходит через вершину горба.

При каком $a$ уравнение $∣ x^{2} - 12 x + 32∣ = a$ имеет ровно три корня?

Вершина параболы: $x_{0} = 6$ , $y_{0} = 36 - 72 + 32 = - 4$ .
После отражения горб имеет высоту $4$ . Ответ: $a = 4$ .

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком $y = ∣ x + 3∣ + 5$ и прямой $y = 14$ .

График — «уголок» с вершиной $(- 3; 5)$ .
$∣ x + 3∣ + 5 = 14 \Rightarrow ∣ x + 3∣ = 9 \Rightarrow x = 6$ или $x = - 12$ .
Треугольник: основание $6 - (- 12) = 18$ , высота $14 - 5 = 9$ . $S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 9 = 81$ .

Сдвиги и дробно-линейная функция

$y = f (x - m)$ Сдвиг графика на

m

вправо (при

m < 0

— влево).

$y = f (x) + n$ Сдвиг на

n

вверх (при

n < 0

— вниз).

$y = (x + 7)^{2} - 5$ получается из $y = x^{2}$ сдвигом на $7$ влево и на $5$ вниз. Вершина — $(- 7; - 5)$ .

Знак внутри скобки «обманывает»: $(x + 7)$ — это сдвиг влево, $(x - 7)$ — вправо.

\frac{a x + b}{x + c} = a + \frac{b - a c}{x + c}

выделение целой части

Это гипербола $y = \frac{k}{x}$ с $k = b - a c$ , сдвинутая так, что асимптоты — $x = - c$ и $y = a$ , центр симметрии $(- c; a)$ . Целые точки графика: $x + c$ должно быть делителем числа $b - a c$ .

Сколько точек с целыми координатами на графике $y = \frac{3 x - 5}{x + 5}$ ?

$y = 3 + \frac{- 5 - 15}{x + 5} = 3 - \frac{20}{x + 5}$ .
$y$ целое, когда $x + 5$ делит $20$ : делители $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$ .
Их $12$ — значит, $12$ точек.

Считайте делители со знаком «минус» тоже: у числа $20$ шесть натуральных делителей, а целых — вдвое больше.

Наибольшее и наименьшее значение

Если $x$ входит в формулу через квадратный трёхчлен, выделяют полный квадрат: $(x - m)^{2} \geq 0$ , и равенство нулю — только при $x = m$ .

Наибольшее значение $y = \frac{13}{x ^{2} + 6 x + 13}$ .

$x^{2} + 6 x + 13 = (x + 3)^{2} + 4 \geq 4$ .
Числитель положителен, дробь тем больше, чем меньше знаменатель: при $x = - 3$ он равен $4$ .
$y_{m a x} = \frac{13}{4} = 3, 25$ .

Наименьшее значение $y = - x^{2} + 6 x + 16 www.reknow.ru + 5$ и длина области определения.

$- x^{2} + 6 x + 16 = 25 - (x - 3)^{2}$ : подкоренное выражение меняется от $0$ до $25$ , корень — от $0$ до $5$ .
$y_{m i n} = 0 + 5 = 5$ (при $(x - 3)^{2} = 25$ ), $y_{m a x} = 10$ (при $x = 3$ ).
Область определения: $(x - 3)^{2} \leq 25$ , то есть $- 2 \leq x \leq 8$ ; её длина $8 - (- 2) = 10$ .

У кусочной функции наименьшее значение ищут на каждом участке отдельно (вершина параболы может оказаться вне участка — тогда берут значение на его границе) и выбирают меньшее.

График $y = x^{2} + 8 x - 5$ сдвинули на 2 влево и на 6 вверх. Сумма нулей новой функции?

Сдвиг влево на 2: $x \to x + 2$ ; вверх на 6: $+ 6$ . $y = (x + 2)^{2} + 8 (x + 2) - 5 + 6 = x^{2} + 12 x + 21$ .
$D = 144 - 84 = 60 > 0$ , по теореме Виета сумма нулей $- 12$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

График с модулем

Серия: 0

Чётность и нечётность

Простыми словами

Чётность и нечётность

Кусочно заданные функции

Графики с модулем

Сдвиги и дробно-линейная функция

Наибольшее и наименьшее значение

Примеры заданий