Навык · Алгебра, 9 класс

Метод интервалов: решение неравенств с множителями

Пошаговый способ решать неравенства вида (x − a)(x − b)… > 0 и дробно-рациональные неравенства.

Правило за 30 секундПриведите неравенство к виду «выражение сравнивается с нулём» и разложите на множители. Отметьте на прямой нули всех множителей: они делят прямую на интервалы. Определите знак в каждом интервале и выберите нужные; нули знаменателя всегда выкалываются.

Родителю: как помочь с темой «Метод интервалов: решение неравенств с множителями»

В теме 2 подтемы: Метод интервалов: счёт решений, Метод интервалов.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

В помощь родителям: успеваемость ребёнка по коду →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Произведение меняет знак только там, где какой-то множитель обращается в ноль. Отметим эти точки на прямой — они разрежут её на куски, и на каждом куске знак постоянный. Осталось узнать знак на каждом куске.

(x + 4) (x + 1) (x - 2) > 0

: решение —

(- 4; - 1) \cup (2; + \infty)

Практика ›закрепить задачами по теме

Алгоритм

Перенести всё влево, справа — ноль. Разложить левую часть на множители вида $(x - a)$ .
Найти нули каждого множителя (и знаменателя, если есть дробь).
Отметить нули на прямой. При строгом неравенстве ( $>$ , $<$ ) точки «выколотые» (пустые), при нестрогом — закрашенные. Нули знаменателя — всегда выколотые.
Узнать знак на самом правом интервале: там все скобки $(x - a)$ положительны, значит знак «+» (если старшие коэффициенты положительны).
Идти справа налево, меняя знак при переходе через каждый ноль. Через ноль чётной кратности, например у $(x - 3)^{2}$ , знак не меняется.
Выбрать интервалы нужного знака.

Сомневаетесь в знаке — подставьте любую «пробную» точку интервала. Например, $x = 0$ в $(x + 4) (x + 1) (x - 2)$ : $4 \cdot 1 \cdot (- 2) < 0$ , значит на $(- 1; 2)$ минус.

Практика ›закрепить задачами по теме

Разберём задания

Сколько целых чисел в левом ограниченном промежутке решения $(x + 4) (x + 1) (x - 2) > 0$ ?

Нули: $- 4, - 1, 2$ . Знаки справа налево: $+, -, +, -$ .
Решение: $- 4 < x < - 1$ или $x > 2$ .
Ограниченный промежуток $(- 4; - 1)$ , концы не входят. Целые: $- 3, - 2$ — 2 числа.

Наименьшее целое решение $(x + 1) (x - 2) (x - 6) > 0$ .

Нули $- 1, 2, 6$ ; решение: $(- 1; 2) \cup (6; + \infty)$ .
Левее $- 1$ решений нет, $- 1$ не входит (неравенство строгое). Наименьшее целое — $0$ .

Так же $(x + 7) (x + 4) (x + 1) > 0$ даёт $(- 7; - 4) \cup (- 1; + \infty)$ , наименьшее целое $- 6$ . Множитель $x$ — это $(x - 0)$ , его ноль — $0$ .

В $\frac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ точку $x = - 2$ включать нельзя: знаменатель равен нулю, дробь не существует. Ответ: $x < - 2$ или $x \geq 1$ .

Знаки не всегда просто чередуются: у $(x - 3)^{2}$ при переходе через $3$ знак сохраняется. Проверяйте пробной точкой.

Навык — часть темы «Неравенства: квадратные, метод интервалов, системы». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 9 класс ›

Серия: 0

Метод интервалов: решение неравенств с множителями

Простыми словами

Алгоритм

Разберём задания

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю