Навык · Алгебра, 9 класс

Система линейных неравенств: пересечение решений

Решение системы — числа, которые подходят сразу всем неравенствам.

Правило за 30 секундРешите каждое неравенство отдельно и изобразите решения на одной числовой прямой. Ответ системы — общая часть (пересечение) этих промежутков. Если общей части нет, система решений не имеет.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

В лифт можно зайти, если рост не меньше 120 см и вес не больше 100 кг — нужно выполнить оба условия сразу. Так и в системе неравенств: решение — числа, которые подходят каждому неравенству.

Решение системы — пересечение (общая часть) решений всех её неравенств. Если общей части нет, система решений не имеет.

{x \geq - 4 x \leq 3 ⟺ - 4 \leq x \leq 3

Практика ›закрепить задачами по теме

Алгоритм

Решить каждое неравенство отдельно (как линейное уравнение, но со знаком неравенства).
Изобразить оба решения на одной числовой прямой штриховкой разного цвета.
Ответ — там, где штриховки перекрываются.

x \geq 1

x \leq 8

: общая часть — отрезок

[1; 8]

При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный: $- 2 x > 6 \Rightarrow x < - 3$ , а не $x > - 3$ .

Практика ›закрепить задачами по теме

Сколько целых решений

N = b - a + 1

число целых чисел на отрезке

[a; b]

, где

a, b

— целые, концы входят

Если конец не входит (строгое неравенство), его не считаем: вычитаем $1$ за каждый «выколотый» целый конец.

Сколько целых решений у системы $x \geq - 4$ , $x \leq 3$ ?

Общая часть: $- 4 \leq x \leq 3$ .
$N = 3 - (- 4) + 1 = 8$ : это $- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ .

$x \geq 1$ и $x \leq 8$ : $N = 8 - 1 + 1 = 8$ .

${2 x - 3 > 1 5 - x \geq 0$

$2 x > 4 \Rightarrow x > 2$ .
$- x \geq - 5 \Rightarrow x \leq 5$ (делим на $- 1$ — знак меняем).
Общая часть $2 < x \leq 5$ : целые $3, 4, 5$ — три числа.

Ответ системы — общая часть, а не объединение: для $x > 1$ и $x < 4$ ответ $1 < x < 4$ , а не «все числа».

Система — это «и» (фигурная скобка ${$ ), совокупность — это «или» (квадратная скобка $[$ ). «И» — пересечение, «или» — объединение.

Навык — часть темы «Неравенства: квадратные, метод интервалов, системы». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 9 класс ›

Серия: 0

Система линейных неравенств: пересечение решений

Простыми словами

Алгоритм

Сколько целых решений

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю