Навык · Алгебра, 9 класс

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Две формулы суммы и когда какую выбирать.

Правило за 30 секундSₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 — удобно, когда известны первый и последний члены. Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)·n/2 — когда известны первый член и разность. Число слагаемых n считайте внимательно: от a₁ до aₙ ровно n членов.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Сложим $1 + 2 + \dots + 100$ . Хитрость: первое с последним, второе с предпоследним — каждый раз $101$ . Таких пар $50$ , сумма $5050$ . Тот же приём работает для любой арифметической прогрессии.

Две копии суммы

2 + 3 + 4 + 5 + 6

образуют прямоугольник

5 \times 8

, значит сумма равна

\frac{8 \cdot 5}{2} = 20

Практика ›закрепить задачами по теме

Две формулы

S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2}

когда известны первый и последний члены

S_{n} = \frac{( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d ) \cdot n}{2}

когда известны первый член и разность

Здесь $S_{n}$ — сумма первых $n$ членов, $a_{1}$ — первый член, $a_{n}$ — $n$ -й член, $d$ — разность, $n$ — число слагаемых. Вторая формула получается из первой подстановкой $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .

Практика ›закрепить задачами по теме

Разберём задания

$a_{1} = 10$ , $d = 8$ . Найдём $S_{14}$ .

Известны $a_{1}$ и $d$ — берём вторую формулу.
$2 a_{1} + 13 d = 20 + 104 = 124$ .
$S_{14} = \frac{124 \cdot 14}{2} = 124 \cdot 7 = 868$ .

$a_{1} = 8$ , $d = 5$ : $S_{10} = \frac{( 16 + 9 \cdot 5 ) \cdot 10}{2} = 61 \cdot 5 = 305$ .

Сумма членов с 5-го по 12-й — это не $S_{12}$ . Нужно $S_{12} - S_{4}$ или первая формула с $a_{5}$ и $a_{12}$ при $n = 8$ (от 5-го до 12-го ровно $12 - 5 + 1 = 8$ членов).

В скобке $(n - 1) d$ , а не $n d$ : от $a_{1}$ до $a_{n}$ всего $n - 1$ шаг.

Сумма = среднее арифметическое первого и последнего × число членов.

Навык — часть темы «Арифметическая прогрессия». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 9 класс ›

Серия: 0

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Простыми словами

Две формулы

Разберём задания

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю