Задание 21. Текстовая задача — ОГЭ по математике

Часть 2 — развёрнутый ответ · ОГЭ по математике

Задание 21. Текстовая задача

Движение, работа, проценты и сплавы с полным решением. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

Текстовая задача — это жизненная ситуация, переведённая на язык формул. Почти всегда работает одна схема: величина = скорость × время. Для движения — путь, для работы — объём работы, для смеси — масса вещества.

1) Обозначить неизвестное буквой. 2) Составить таблицу: что известно о каждом участнике. 3) Записать уравнение по условию. 4) Решить. 5) Проверить, что ответ имеет смысл, и ответить на вопрос задачи (в нужных единицах).

Задание оценивается в 2 балла: нужны ход решения (обозначения, уравнение) и верный ответ.

Движение

s = v \cdot t, t = \frac{s}{v}, v = \frac{s}{t}

путь, время, скорость

$s$ — путь (км), $v$ — скорость (км/ч), $t$ — время (ч). Навстречу — скорости складываются; вдогонку — вычитаются; по течению $v + v_{теч}$ , против течения $v - v_{теч}$ .

Автомобиль проезжает $360$ км со скоростью $75$ км/ч. На сколько минут быстрее он проедет этот путь со скоростью на $5$ км/ч больше?

Сначала: $t_{1} = \frac{360}{75} = 4, 8$ ч.
Потом: $t_{2} = \frac{360}{80} = 4, 5$ ч.
Разница $0, 3$ ч $= 0, 3 \cdot 60 = 18$ мин. Ответ: $18$ .

Совместная работа

Всю работу принимают за $1$ . Производительность — доля работы за единицу времени: кто делает всё за $12$ ч, делает $\frac{1}{12}$ работы в час. При совместной работе производительности складываются.

t_{вместе} = \frac{1}{\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}}}

время совместной работы

Первый выполняет заказ за $12$ ч, второй — за $20$ ч. За сколько часов вместе?

$\frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{5}{60} + \frac{3}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$ работы в час.
$t = 1 : \frac{2}{15} = 7, 5$ ч. Ответ: $7, 5$ .

Времена не складываются и не усредняются: вместе не $32$ ч и не $16$ ч. Вместе всегда быстрее, чем самый быстрый в одиночку.

Смеси и растворы

Концентрация — доля вещества в смеси: $p = \frac{m _{в - ва}}{m _{смеси}} \cdot 100%$ . Если доливают воду, масса вещества не меняется, меняется только масса смеси.

Вещества столько же, смеси больше — концентрация падает

К $200$ г раствора концентрации $20%$ долили $50$ г воды. Какова новая концентрация?

Вещества: $200 \cdot 0, 2 = 40$ г.
Новая масса раствора: $200 + 50 = 250$ г.
$p = \frac{40}{250} \cdot 100% = 16%$ . Ответ: $16$ .

Перед записью ответа перечитайте вопрос: просили минуты, а не часы? скорость второго, а не первого?

Концентрация смеси без вычислений

Концентрация смеси двух растворов всегда лежит между их концентрациями: смешав 10% и 40%, получим от 10% до 40%.
Смесь ближе к тому раствору, которого взяли больше. Поэтому брать простое среднее процентов нельзя — это верно только при равных массах.

100 г 10%-го и 300 г 50%-го раствора. Концентрация смеси?

Вещества: $0, 1 \cdot 100 + 0, 5 \cdot 300 = 10 + 150 = 160$ г; масса смеси $400$ г.
$\frac{160}{400} = 0, 4 = 40%$ — а не $\frac{10 + 50}{2} = 30%$ .

Сравнить две смеси одних растворов просто: выше концентрация у той, где больше крепкого раствора.

Примеры заданий 21 ОГЭ по математике

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

К 200 г раствора концентрации 20% долили 50 г воды. Какова концентрация полученного раствора в процентах?

Показать ответ

Ответ: 16
Решение. 40 : 250 · 100 = 16%.

Из 200 г раствора концентрации 10% выпарили 100 г воды. Какова концентрация оставшегося раствора в процентах?

Показать ответ

Ответ: 20
Решение. 20 : 100 · 100 = 20%.

В 100 г раствора концентрации 10% досыпали 20 г соли и полностью растворили. Какова концентрация полученного раствора в процентах?

Показать ответ

Ответ: 25
Решение. (10 + 20) : 120 · 100 = 25%.

Сколько граммов раствора концентрации 50% нужно добавить к 200 г раствора концентрации 10%, чтобы получить раствор концентрации 30%?

Показать ответ

Ответ: 200
Решение. x = 200 · (30 − 10) : (50 − 30) = 200 г.

Сплавили 3 кг сплава с содержанием меди 20% и 7 кг сплава с содержанием меди 40%. Каково содержание меди в новом сплаве в процентах?

Показать ответ

Ответ: 34
Решение. (3 · 20 + 7 · 40) : 10 = 34%.

Сколько граммов соли содержится в 250 г раствора концентрации 12%?

Показать ответ

Ответ: 30
Решение. 250 · 12 : 100 = 30 г.

Автомобиль проезжает 360 км со скоростью 75 км/ч. На сколько минут быстрее он проедет тот же путь, увеличив скорость на 5 км/ч?

Показать ответ

Ответ: 18
Решение. 4.8 ч и 4.5 ч, разница 18 мин.

Первый рабочий выполняет заказ за 12 ч, второй — за 20 ч. За сколько часов они выполнят заказ вместе?

Показать ответ

Ответ: 7.5
Решение. t = 12 · 20 / (12 + 20) = 7.5 ч.