Какой приём приводит к доказательству? Полный разбор — в блоке ниже. Треугольники ABC и A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Докажите, что треугольники равны. Варианты: Первый признак: по двум сторонам и углу между ними; Второй признак: по стороне и двум прилежащим углам; Третий признак: по трём сторонам; Признак подобия по двум углам.

Первый признак: по двум сторонам и углу между ними

С какого действия начинается доказательство? Треугольники ABC и A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Докажите, что треугольники равны. Варианты: Выписываем, что дано: две пары равных сторон и пара равных углов; Замечаем главное: угол A заключён между сторонами AB и AC, а угол A₁ — между A₁B₁ и A₁C₁. Это и есть условие первого признака; Применяем первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны; Из равенства треугольников следует равенство всех остальных соответственных элементов: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.

Выписываем, что дано: две пары равных сторон и пара равных углов

Какой вывод завершает доказательство? Треугольники ABC и A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Докажите, что треугольники равны. Варианты: Из равенства треугольников следует равенство всех остальных соответственных элементов: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁; Выписываем, что дано: две пары равных сторон и пара равных углов; Замечаем главное: угол A заключён между сторонами AB и AC, а угол A₁ — между A₁B₁ и A₁C₁. Это и есть условие первого признака; Применяем первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны.

Из равенства треугольников следует равенство всех остальных соответственных элементов: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁

Какой факт в этом доказательстве не используется? Треугольники ABC и A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Докажите, что треугольники равны. Варианты: Второй признак: по стороне и двум прилежащим углам; Первый признак: по двум сторонам и углу между ними; Третий признак: по трём сторонам; Признак подобия по двум углам.

Второй признак: по стороне и двум прилежащим углам

Часть 2 — развёрнутый ответ · ОГЭ по математике

Задание 24. Геометрия: доказательство

Разбор доказательства по шагам. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Родителю: как помочь с темой «Задание 24. Геометрия: доказательство»

В теме 5 подтем: Выбор способа доказательства, С чего начать, Чем заканчивается доказательство, Второй шаг, Лишнее средство.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Если здесь ошибка — повторите тему

Треугольник: равенство и свойства9 кл., геометрия Параллелограмм и трапеция8 кл., геометрия Треугольники7 кл., геометрия

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

В доказательстве оценивают не ответ, а логику: каждое утверждение должно опираться на условие или на известную теорему. Это как цепочка: каждое звено держится за предыдущее, и ни одно не берётся «потому что видно на рисунке».

2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы. 1 балл — доказательство в целом верное, но есть неточности. Если ключевой шаг не обоснован — 0.

Схема доказательства

Начало. Выписать, что дано и что нужно доказать; сделать рисунок и отметить на нём равные элементы.
Второй шаг. Найти главное: какие фигуры сравнивать (обычно два треугольника) и какой признак подходит к данным.
Основная часть. Перечислить нужные равенства, к каждому — причина: «по условию», «общая сторона», «вертикальные углы», «как накрест лежащие при параллельных прямых».
Вывод. Назвать применённый признак и из равенства (подобия) фигур вывести то, что требовалось.

«Лишнее средство» — частая ловушка: не подбирайте признак наугад. Если даны две стороны и угол между ними, второй признак (по стороне и двум углам) здесь не используется.

Инструменты

Равенство треугольников1) по двум сторонам и углу между ними; 2) по стороне и двум прилежащим к ней углам; 3) по трём сторонам.

Подобие треугольников1) по двум углам; 2) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; 3) по трём пропорциональным сторонам.

Также часто нужны: свойства параллельных прямых (накрест лежащие и соответственные углы равны), свойства равнобедренного треугольника, вертикальные углы, свойства параллелограмма.

Пример 1: первый признак

$A B = A_{1} B_{1}$ , $A C = A_{1} C_{1}$ , $∠ A = ∠ A_{1}$ . Докажите, что $△ A BC = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Дано: две пары равных сторон и пара равных углов.
Угол $A$ заключён между сторонами $A B$ и $A C$ , угол $A_{1}$ — между $A_{1} B_{1}$ и $A_{1} C_{1}$ .
Значит, треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство остальных элементов: $BC = B_{1} C_{1}$ , $∠ B = ∠ B_{1}$ , $∠ C = ∠ C_{1}$ .

Пример 2: средняя линия

BM = M A

BN = NC

; нужно доказать, что

MN ∥ A C

$M$ — середина $A B$ , $N$ — середина $BC$ . Докажите, что $MN ∥ A C$ .

По условию $BM = M A$ , $BN = NC$ , поэтому $\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC} = \frac{1}{2}$ .
В $△ BMN$ и $△ B A C$ угол $B$ общий.
Значит, $△ BMN \sim △ B A C$ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Отсюда $∠ BMN = ∠ B A C$ . Это соответственные углы при прямых $MN$ , $A C$ и секущей $A B$ , значит $MN ∥ A C$ .
Попутно: коэффициент подобия $\frac{1}{2}$ , поэтому $MN = \frac{1}{2} A C$ .

Здесь не подходит равенство треугольников $BMN$ и $B A C$ : они разного размера. Нужен признак подобия.

Пишите «по условию», «по свойству…», «по признаку…» после каждого равенства — именно эти слова проверяющий ищет в решении.

Ключевые идеи доказательств: треугольники и параллелограммы

Что доказать	Главная идея
В равнобедренном треугольнике ( $A B = BC$ ) биссектриса $B D$ — медиана	$△ A B D = △ CB D$ по первому признаку: $A B = BC$ , $B D$ общая, $∠ A B D = ∠ CB D$ ; отсюда $A D = D C$
Если два угла треугольника равны, он равнобедренный	провести биссектрису $B D$ ; $△ A B D = △ CB D$ по стороне и двум углам ( $∠ A = ∠ C$ , $∠ A B D = ∠ CB D$ , значит и третьи углы равны), отсюда $A B = BC$
Отрезок через середину $M$ отрезка $A B$ между параллельными прямыми делится точкой $M$ пополам ( $A C = B D$ )	$△ A MC = △ BM D$ по второму признаку: $A M = MB$ , вертикальные углы при $M$ , накрест лежащие углы при параллельных
В параллелограмме противоположные стороны равны	диагональ $A C$ делит его на $△ A BC = △ C D A$ по второму признаку ( $A C$ общая, накрест лежащие углы)
Диагонали прямоугольника равны	$△ A B D = △ B A C$ по двум катетам ( $A B$ общий, $A D = BC$ ), значит гипотенузы $B D = A C$
Диагонали ромба перпендикулярны	диагонали делятся пополам ( $A O = OC$ ), $△ A BC$ равнобедренный, медиана $BO$ к основанию — высота
В равнобедренной трапеции углы при основании равны	опустить высоты $B H$ и $C K$ : $B H = C K$ , $△ A B H = △ D C K$ по гипотенузе и катету
Треугольники $BOC$ и $A O D$ в трапеции подобны	по двум углам: накрест лежащие при $BC ∥ A D$ (или вертикальные при $O$ ); отсюда $\frac{BO}{O D} = \frac{CO}{O A} = \frac{BC}{A D}$

Ключевые идеи доказательств: углы, окружности, площади

Что доказать	Главная идея
Сумма углов выпуклого четырёхугольника $36 0^{\circ}$	диагональ делит его на два треугольника: $18 0^{\circ} + 18 0^{\circ}$
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой	теорема о вписанном угле: он равен половине дуги-полуокружности, $\frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ}$
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны	каждый равен половине этой дуги
Касательная перпендикулярна радиусу в точку касания	от противного: иначе перпендикуляр $O H$ к касательной короче $O A = R$ , точка $H$ внутри круга — у прямой две общие точки с окружностью
Около любого треугольника можно описать окружность	серединные перпендикуляры к двум сторонам пересекаются в точке $O$ , равноудалённой от всех вершин; через неё проходит и третий
Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею $2 : 1$	средняя линия $MN ∥ A B$ , $MN = \frac{1}{2} A B$ ; $△ OMN \sim △ O A B$ с $k = \frac{1}{2}$ , значит $A O : OM = 2 : 1$ ; третья медиана делит вторую так же
Катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы	достроить треугольник симметрично относительно катета до равностороннего: гипотенуза — его сторона, а катет — половина другой стороны
Площадь треугольника $\frac{1}{2} ah$	достроить до параллелограмма из двух равных треугольников: $S = \frac{1}{2} \cdot ah$

«Лишнее средство» в вопросах — то, что к данной фигуре не относится: теорема Пифагора в задаче о равенстве треугольников, теорема о вписанном угле там, где нет окружности.

Посмотреть и посчитать

Модели

Средняя линия треугольника

Серия: 0