Можно ли применять теорему Виета, если D < 0?

Нет: действительных корней нет, и говорить об их сумме и произведении в школьном курсе нельзя.

Навык · Алгебра, 9 класс

Теорема Виета: сумма и произведение корней

Q: Можно ли применять теорему Виета, если D < 0?

Нет: действительных корней нет, и говорить об их сумме и произведении в школьном курсе нельзя.

Как найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его, и подобрать корни устно.

Правило за 30 секундДля уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q. Для уравнения ax² + bx + c = 0 сначала делим на a: x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a. Теорема работает, только если корни есть — проверьте, что дискриминант не отрицательный.

Родителю: как помочь с темой «Теорема Виета: сумма и произведение корней»

В теме 2 подтемы: Теорема Виета: произведение корней, Теорема Виета: сумма корней.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

В помощь родителям: успеваемость ребёнка по коду →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Коэффициенты квадратного уравнения «знают» про его корни: один хранит их сумму, другой — произведение. Поэтому сумму и произведение корней можно найти, вообще не решая уравнение.

Сумма — с обратным знаком, произведение — как есть

Практика ›закрепить задачами по теме

Формулы

Если $x_{1}, x_{2}$ — корни приведённого уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ , то

x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q .

Для уравнения общего вида $a x^{2} + b x + c = 0$ сначала делим на $a$ (получаем $p = \frac{b}{a}$ , $q = \frac{c}{a}$ ):

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

a

— коэффициент при

x^{2}

b

— при

x

c

— свободный член

Теорема говорит о корнях, которые есть. Если $D = b^{2} - 4 a c < 0$ , корней нет — и «сумма корней» не существует. Проверьте $D \geq 0$ .

Практика ›закрепить задачами по теме

Разберём задания

Найдём произведение корней $2 x^{2} - 4 x - 16 = 0$ .

$D = 16 + 128 > 0$ — корни есть.
$x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 16}{2} = - 8$ .

$2 x^{2} + 14 x + 12 = 0$ : $D = 196 - 96 = 100 > 0$ , $x_{1} x_{2} = \frac{12}{2} = 6$ .

$2 x^{2} + 12 x + 16 = 0$ : $D = 144 - 128 = 16 > 0$ , $x_{1} + x_{2} = - \frac{12}{2} = - 6$ .

$x^{2} - 3 x = 0$ : здесь $p = - 3$ , $q = 0$ , сумма корней $= 3$ (корни $0$ и $3$ ).

$x^{2} - 7 x + 10 = 0$ : ищем два числа с произведением $10$ и суммой $7$ — это $2$ и $5$ .

Для $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ пишут «сумма $= - 7$ ». Но $p = - 7$ , а сумма равна $- p = 7$ .

Для $2 x^{2} - 6 x + 4 = 0$ берут произведение $4$ . Уравнение не приведённое: произведение $\frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2$ .

Подбор начинайте с произведения: перечислите пары множителей числа $q$ и выберите ту, что даёт нужную сумму. Знак произведения подскажет, одинаковы ли знаки корней.

Навык — часть темы «Квадратные уравнения и квадратный трёхчлен». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 9 класс ›

Серия: 0

Теорема Виета: сумма и произведение корней

Простыми словами

Формулы

Разберём задания

Примеры заданий

Частые вопросы

Связанные навыки

Учителю