Теорема Виета и свойства корней (углублённый уровень) 8 класс

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

Чему равна сумма корней уравнения?

6x² + 10x − 15 = 0

−53
53
−52
52

Показать ответ

Ответ: −53
Решение. 1) D = 10² − 4 · 6 · (−15) = 460 > 0 — корни существуют.
2) По теореме Виета x₁ + x₂ = −ba.
3) Здесь b = 10, a = 6, значит сумма равна −53.

Числа x₁ и x₂ — корни уравнения. Найдите значение выражения x₁³ + x₂³:

x² − 5x + 5 = 0

Показать ответ

Ответ: 50
Решение. 1) D = −5² − 4 · 5 = 5 > 0 — корни есть.
2) По теореме Виета S = x₁ + x₂ = 5, P = x₁·x₂ = 5.
3) Используем тождество: x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂) = S³ − 3PS.
4) Подставляем: 5³ − 3 · 5 · 5 = 125 − 75 = 50. Сами корни (они здесь могут быть иррациональными) не нужны.

Корни уравнения умножили на 5. Составьте приведённое уравнение с новыми корнями и укажите его свободный член:

x² + 9x + 12 = 0

Показать ответ

Ответ: 300
Решение. 1) По Виета для исходного уравнения S = −9, P = 12.
2) Новые корни 5x₁ и 5x₂: их сумма равна 5S = −45, а произведение — 5²P = 25 · 12 = 300.
3) Новое приведённое уравнение: x² + 45x + 300 = 0, его свободный член равен 300.

Определите знаки корней, не решая уравнение:

5x² + 6x − 10 = 0

оба корня отрицательны
корней нет
оба корня положительны
корни имеют разные знаки

Показать ответ

Ответ: корни имеют разные знаки
Решение. 1) D = 6² − 4 · 5 · (−10) = 236 > 0 — корни есть.
2) P = ca = −2 < 0, S = −ba = −65.
3) Произведение отрицательно — корни разных знаков.
Вывод: корни имеют разные знаки.

Корни уравнения положительны, причём один из них в 5 раз больше другого. Найдите a:

x² + ax + 320 = 0

Показать ответ

Ответ: -48
Решение. 1) Пусть меньший корень равен t, тогда больший равен 5t.
2) По Виета произведение корней равно свободному члену: t · 5t = 5t² = 320, отсюда t² = 64 и t = 8 (корни положительны).
3) Сумма корней: 8 + 40 = 48, а по Виета она равна −a.
4) a = −48 = −48.

Теорема Виета и свойства корней 8 класс

Примеры заданий