Шпаргалка · Алгебра · 8 класс

Все формулы по алгебре за 8 класс — шпаргалка

Все формулы на одном листе — теория, свойства, примеры

Скачать PDF
01

÷Дроби и функция y = k/x

Рациональная дробь имеет смысл только при знаменателе ≠ 0. Сокращать можно лишь общий множитель, а не слагаемое.

ac + bc = a + bc
ab · cd = acbd
ab : cd = adbc
xyk > 0
гипербола y = k/x

Функция y = k/x (k ≠ 0) — гипербола. При k > 0 ветви лежат в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV.

Потренироваться → Рациональные дроби 8 классФункция y = k/x 8 классРациональные дроби и тождества 8 класс — углублённый уровень
02

√Квадратные корни

√(ab) = √a · √b при a ≥ 0, b ≥ 0
√(a : b) = √a : √b при a ≥ 0, b > 0
√(a²) = |a|, а (√a)² = a при a ≥ 0
√50 = √(25 · 2) = 5√2 — вынесение множителя
1√a = √aa при a > 0 — избавление от корня в знаменателе

Подкоренное выражение не бывает отрицательным: у функции y = √x область определения x ≥ 0, график — ветвь, растущая из начала координат.

Потренироваться → Квадратные корни 8 классКвадратные корни 8 класс — углублённый уровень
03

★Решение квадратного уравнения ax² + bx + c = 0

Схема на все случаи; теорема Виета записана для приведённого уравнения x² + px + q = 0

D = b² − 4ac
дискриминант
x = −b ± √D2a
два корня при D > 0
x₁ + x₂ = −p
Виета: сумма корней
x₁ · x₂ = q
Виета: произведение
a(x−x₁)(x−x₂)
разложение ax² + bx + c при D ≥ 0
Потренироваться → Квадратные уравнения 8 классКвадратные уравнения 8 класс — углублённый уровеньТеорема Виета и свойства корней 8 класс — углублённый уровень
04

◆Неравенства и степень с целым показателем

Неравенство не меняет знака, когда к обеим частям прибавляют число или умножают их на положительное число. При умножении и делении на отрицательное число знак меняется на противоположный: −3x > 6 ⟹ x < −2.

a⁻ⁿ = 1aⁿ и a⁰ = 1 при a ≠ 0
(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ, а aⁿbⁿ = (a : b)ⁿ при b ≠ 0
Решение системы неравенств — общая часть (пересечение) промежутков
2x < 2
решение x < 2 на прямой

Стандартный вид числа: a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10. Например, 32 800 = 3,28 · 10⁴, а 0,00047 = 4,7 · 10⁻⁴.

Потренироваться → Неравенства 8 классСтепень с целым показателем 8 классНеравенства и системы 8 класс — углублённый уровень

СОВЕТ

Прежде чем сокращать дробь, разложите числитель и знаменатель на множители: чаще всего выручает a² − b² = (a − b)(a + b).

ЛАЙФХАК

Если старший коэффициент равен 1, начните с теоремы Виета: целые корни подбираются по произведению q за несколько секунд.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

При делении неравенства на отрицательное число забывают перевернуть знак — и получают ответ, противоположный верному.

ПРАКТИКА

3400 заданий по этим темам с теорией и подсказками — reknow.ru/8/algebra

Тренажёры по теме

Квадратные уравнения 8 классКвадратные корни 8 классРациональные дроби 8 классФункция y = k/x 8 классНеравенства 8 классСтепень с целым показателем 8 классТеорема Виета и свойства корней 8 класс — углублённый уровеньКвадратные уравнения 8 класс — углублённый уровеньКвадратные корни 8 класс — углублённый уровеньФункция y = k/x и графики 8 класс — углублённый уровеньВсе темы: Алгебра, 8 класс

Как пользоваться шпаргалкой

Восьмой класс — время квадратных уравнений, и весь лист так или иначе ведёт к ним. Начинается он с рациональных дробей: когда дробь имеет смысл, что разрешено сокращать, как складывать, умножать и делить; рядом гипербола y = k/x и правило, в каких четвертях лежат её ветви.

Второй блок — свойства квадратного корня: корень из произведения и частного, √(a²) = |a|, вынесение множителя и избавление от корня в знаменателе. Центральная полоса даёт полную схему решения ax² + bx + c = 0: дискриминант, формула корней, теорема Виета для приведённого уравнения и разложение квадратного трёхчлена на множители.

В последнем разделе — правила преобразования неравенств, степень с отрицательным показателем и стандартный вид числа с примерами. Держите лист под рукой, пока решаете номера, а довести формулы до автоматизма помогут тренажёры по каждому разделу.

Частые вопросы

Можно ли распечатать шпаргалку по алгебре?

Да. Используйте кнопку «Распечатать» или сохраните PDF — лист рассчитан на одну страницу A4.

Какие формулы по алгебре нужно знать в 8 классе?

Дискриминант D = b² − 4ac и формулу корней квадратного уравнения, теорему Виета, свойства квадратных корней, степень с отрицательным показателем a⁻ⁿ = 1/aⁿ и правила действий с рациональными дробями.

Где потренироваться?

Квадратные уравнения — в тренажёре по квадратным уравнениям, корни — в «Квадратных корнях», неравенства — в теме про неравенства.

Когда удобнее теорема Виета, а когда дискриминант?

Если старший коэффициент равен 1 и корни целые, их быстро подобрать по Виета: сумма равна −p, произведение равно q. В остальных случаях надёжнее считать дискриминант.