Интерактивные тренажёры

Рациональные дроби и тождества 8 класс

ОДЗ, сокращение, дроби с параметром. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

Найдите произведение всех значений x, при которых выражение не имеет смысла:

7x² − 3x − 54

Показать ответ

Ответ: -54
Решение. 1) Дробь не имеет смысла там, где знаменатель равен нулю: x² − 3x − 54 = 0.
2) По теореме Виета корни подбираются из условий x₁ + x₂ = 3, x₁ · x₂ = −54: это 9 и −6, то есть x² − 3x − 54 = (x − 9)(x + 6).
3) Значит x ≠ 9 и x ≠ −6. Искомое произведение: 9 · (−6) = −54 → −54.

Сократите дробь и найдите её значение:

x² + 16x + 63x + 7 при x = −4

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. 1) Разложим числитель по корням: x₁ + x₂ = −16, x₁ · x₂ = 63 → корни −9 и −7, значит x² + 16x + 63 = (x + 9)(x + 7).
2) Сокращаем на (x + 7): остаётся x + 9.
3) При x = −4: −4 + 9 = 5.

Выполните действие:

1x − 10 + 1x + 10

2xx² − 100
2xx² + 100
2x² − 100
22x

Показать ответ

Ответ: 2xx² − 100
Решение. 1) Общий знаменатель: (x − 10)(x + 10) = x² − 100.
2) Числитель: (x + 10) + (x − 10) = 2x — слагаемые 10 и −10 уничтожаются.
3) Итого 2xx² − 100.

При каком значении a дробь не имеет смысла ровно при x = 2 и x = −7?

x − 9x² + 5x + a

Показать ответ

Ответ: -14
Решение. 1) «Не имеет смысла при x = 2 и x = −7» значит, что это в точности корни знаменателя.
2) По теореме Виета для x² + 5x + a свободный член равен произведению корней: a = 2 · (−7).
3) Проверка коэффициента при x: −(x₁ + x₂) = −(2 + (−7)) = 5 — совпадает.
4) a = −14.

Упростите выражение:

x + 5x − 5 − x − 5x + 5

20x² − 25
10xx² − 25
20xx² + 25
20xx² − 25

Показать ответ

Ответ: 20xx² − 25
Решение. 1) Общий знаменатель: x² − 25.
2) Числитель: (x + 5)² − (x − 5)² = (x² + 10x + 25) − (x² − 10x + 25) = 20x.
3) Ответ: 20xx² − 25.