Тема 01 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Сокращение с разложением на множители

Рациональные дроби и тождества. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Сокращение с разложением на множители»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Делить на ноль нельзя — поэтому у дроби с буквой в знаменателе есть «запретные» значения переменной. Всё остальное в работе с дробями — как с обычными числами: сокращаем общие множители, приводим к общему знаменателю. Главный инструмент — разложение на множители.

Рациональная дробь $\frac{A}{B}$ — дробь, где $A$ и $B$ — многочлены. Она определена только при $B \neq = 0$ . Множество допустимых значений переменной — ОДЗ (область допустимых значений).

ОДЗ: когда дробь не имеет смысла

Приравнять знаменатель к нулю.
Разложить его на множители и найти корни — это запрещённые значения.

x^{2} + b x + c = (x - x_{1}) (x - x_{2}), x_{1} + x_{2} = - b, x_{1} x_{2} = c

разложение квадратного трёхчлена через корни (теорема Виета)

При каких $x$ дробь $\frac{15}{x ^{2} - 8 x - 9}$ не имеет смысла?

$x^{2} - 8 x - 9 = 0$ : подбираем числа с суммой $8$ и произведением $- 9$ — это $9$ и $- 1$ .
Ответ: $x = - 1$ и $x = 9$ .

ОДЗ: все числа, кроме

- 1

9

(точки «выколоты»)

Если нужно произведение запретных значений, корни можно не искать: по Виета оно равно $c$ . Для $\frac{7}{x ^{2} - 3 x - 54}$ произведение равно $- 54$ (корни $9$ и $- 6$ ).

$D < 0$ Знаменатель не обращается в 0 — запретов нет.

Деление дробей

\frac{A}{B} : \frac{C}{D}

— три запрета:

B \neq = 0

D \neq = 0

C \neq = 0

Сокращение

Сокращать можно только множители, поэтому сначала раскладываем числитель и знаменатель.

Формула	Разложение
Разность квадратов	$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
Квадрат суммы/разности	$a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$
Разность кубов	$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
Сумма кубов	$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

Сократите $\frac{x ^{2} + 16 x + 63}{x + 7}$ и найдите значение при $x = - 4$ .

Корни числителя: сумма $- 16$ , произведение $63$ — это $- 7$ и $- 9$ . Значит, $x^{2} + 16 x + 63 = (x + 7) (x + 9)$ .
$\frac{( x + 7 ) ( x + 9 )}{x + 7} = x + 9$ (при $x \neq = - 7$ ).
При $x = - 4$ : $- 4 + 9 = 5$ .

Сократите $\frac{8 x ^{2} - 512}{x + 8}$ .

$8 x^{2} - 512 = 8 (x^{2} - 64) = 8 (x - 8) (x + 8)$ .
Ответ: $8 (x - 8)$ .

Сократите $\frac{x ^{2} - 225}{x ^{2} + 30 x + 225}$ .

$\frac{( x - 15 ) ( x + 15 )}{( x + 15 ) ^{2}} = \frac{x - 15}{x + 15}$ .

Нельзя сокращать слагаемые: $\frac{x + 7}{x} \neq = 7$ . И значение подставляют после сокращения — так короче и надёжнее.

Сложение и вычитание

Разложить знаменатели на множители.
Общий знаменатель — произведение всех разных множителей.
Домножить каждую дробь на недостающие множители и сложить числители.

$\frac{1}{x - 10} + \frac{1}{x + 10}$

Общий знаменатель $(x - 10) (x + 10) = x^{2} - 100$ .
$\frac{( x + 10 ) + ( x - 10 )}{x ^{2} - 100} = \frac{2 x}{x ^{2} - 100}$ .

$\frac{x}{x + 12} - \frac{12}{x - 12}$

$\frac{x ( x - 12 ) - 12 ( x + 12 )}{x ^{2} - 144}$ .
Числитель: $x^{2} - 12 x - 12 x - 144 = x^{2} - 24 x - 144$ .
Ответ: $\frac{x ^{2} - 24 x - 144}{x ^{2} - 144}$ .

Полезные готовые результаты:

\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a} = \frac{2 a}{x ^{2} - a ^{2}}, \frac{x + a}{x - a} - \frac{x - a}{x + a} = \frac{4 a x}{x ^{2} - a ^{2}}

Например, $\frac{x + 5}{x - 5} - \frac{x - 5}{x + 5} = \frac{( x + 5 ) ^{2} - ( x - 5 ) ^{2}}{x ^{2} - 25} = \frac{20 x}{x ^{2} - 25}$ .

Минус перед дробью относится ко всему её числителю: $- 12 (x + 12) = - 12 x - 144$ , а не $- 12 x + 144$ .

Дробь равна нулю и дробь с параметром

\frac{A}{B} = 0 ⟺ A = 0 и B \neq = 0

корень числителя, совпавший с запретом ОДЗ, отбрасывают

Пример: $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0$ даёт только $x = - 3$ ( $x = 3$ — запрет).

Условие на знаменатель $x^{2} + p x + a$	Что это значит
Не определена ровно при $x = p_{1}$ и $x = p_{2}$	$p_{1}, p_{2}$ — корни знаменателя, $a = p_{1} p_{2}$
Не определена ровно при одном $x$	$D = 0$
Определена при всех $x$	$D < 0$

При каком $a$ дробь $\frac{x - 9}{x ^{2} + 5 x + a}$ не имеет смысла ровно при $x = 2$ и $x = - 7$ ?

$2$ и $- 7$ — корни знаменателя. Проверка суммы: $2 + (- 7) = - 5$ — совпадает с $- p = - 5$ ✓.
$a = x_{1} x_{2} = 2 \cdot (- 7) = - 14$ .

Для $x^{2} - 7 x + a$ с корнями $5$ и $2$ : $5 + 2 = 7$ ✓, $a = 10$ . Всегда проверяйте сумму — иначе таких корней может не быть ни при каком $a$ .

Сумма запретов и ещё параметры

Для знаменателя $x^{2} + b x + c$ с $D > 0$ запретные значения — его корни, поэтому по Виета их сумма равна $- b$ , а произведение — $c$ . Если $D < 0$ , запретов нет вовсе.

Сумма значений $x$ , при которых $\frac{2}{x ^{2} + 2 x - 24}$ не имеет смысла: $D = 4 + 96 > 0$ , сумма корней $- 2$ (корни $4$ и $- 6$ ).

При каком $a$ дробь $\frac{8}{x ^{2} + 18 x + a}$ не имеет смысла ровно при одном значении $x$ ?

Знаменатель обращается в ноль ровно в одной точке, когда у него один корень: $D = 0$ .
$D = 1 8^{2} - 4 a = 324 - 4 a = 0$ , $a = 81$ . (Короче: $a = (\frac{18}{2})^{2}$ — знаменатель становится $(x + 9)^{2}$ .)

При каком $a$ дробь $\frac{8 x - a}{x - 2}$ равна нулю при $x = - 2$ ?

Числитель при $x = - 2$ должен быть нулём: $8 \cdot (- 2) - a = 0$ , $a = - 16$ .
Знаменатель $- 2 - 2 = - 4 \neq = 0$ — дробь определена. Ответ: $- 16$ .

Серия: 0