Интерактивные тренажёры

Квадратные уравнения 8 класс

Дискриминант, параметр, замена переменной, дробно-рациональные. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

Разложите квадратный трёхчлен на множители:

x² − 8x − 9

(x + 8)(x + 9)
(x + 1)(x + 9)
(x − 1)(x + 9)
(x + 1)(x − 9)

Показать ответ

Ответ: (x + 1)(x − 9)
Решение. 1) Ищем числа, дающие в сумме 8 и в произведении −9 (теорема Виета): это −1 и 9.
2) Значит x² − 8x − 9 = (x + 1)(x − 9).
3) Проверка раскрытием скобок даёт исходный трёхчлен: (x + 1)(x − 9).

Сколько различных корней имеет уравнение?

5x² − 9x + 6 = 0

два различных корня
корней нет
один корень
бесконечно много корней

Показать ответ

Ответ: корней нет
Решение. 1) D = −9² − 4 · 5 · 6 = 81 − 120 = −39.
2) D < 0, поэтому у уравнения корней нет.

При каком наименьшем целом значении a уравнение не имеет корней?

x² − 20x + a = 0

Показать ответ

Ответ: 101
Решение. 1) Корней нет — это строгое неравенство D < 0: 400 − 4a < 0.
2) Отсюда a > 4004 = 100.
3) Наименьшее целое, строго большее 100, — это 101 (при a = 101 имеем D = 400 − 404 = −4 < 0).

Сколько различных корней имеет уравнение?

x⁴ − x² = 0

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. 1) Замена y = x²: y² − y = 0.
2) Корни по Виета: y₁ + y₂ = 1, y₁ · y₂ = 0 → y = 0 и y = 1.
3) Возвращаемся к x: x² = 0 → x = 0 (один корень); x² = 1 → x = ±1 (два корня).
4) Итого различных корней: 3.

Решите уравнение и укажите его больший корень:

x − 24x = −2

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. 1) ОДЗ: x ≠ 0. Умножим обе части на x: x² − 24 = −2x.
2) Переносим всё влево: x² + 2x − 24 = 0.
3) По теореме Виета корни в сумме дают −2, в произведении −24: это 4 и −6. Оба не равны нулю — ОДЗ выполнено.
4) Больший корень: 4.