Тема 03 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Дискриминант и число корней

Квадратные уравнения. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Квадратное уравнение — главный «кирпич» алгебры 8–9 класса: к нему сводятся задачи на движение, площади, дробные и биквадратные уравнения. Нужно уверенно уметь три вещи: найти корни, понять, сколько их, и свести сложное уравнение к квадратному.

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0), D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D www.reknow.ru}{2 a}

a, b, c

— коэффициенты,

D

— дискриминант,

x_{1, 2}

— корни

Корни уравнения — точки, где парабола

y = a x^{2} + b x + c

встречает ось

O x

Неполные уравнения и разложение

Вид	Как решать
$a x^{2} + b x = 0$	$x (a x + b) = 0$ $\Rightarrow$ $x = 0$ или $x = - \frac{b}{a}$
$a x^{2} + c = 0$	$x^{2} = - \frac{c}{a}$ ; корни $\pm - \frac{c}{a} www.reknow.ru$ , если $- \frac{c}{a} \geq 0$
$A^{2} = B^{2}$	$(A - B) (A + B) = 0$
$x^{3} + p x^{2} - q^{2} x - p q^{2}$	группировка: $= (x + p) (x - q) (x + q)$

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

разложение квадратного трёхчлена,

x_{1}, x_{2}

— его корни

Разложите $x^{2} - 8 x - 9$ .

Корни: сумма $8$ , произведение $- 9$ $\Rightarrow$ $9$ и $- 1$ .
$x^{2} - 8 x - 9 = (x + 1) (x - 9)$ .

Нельзя делить уравнение $x^{2} = 5 x$ на $x$ : потеряется корень $x = 0$ . Выносите $x$ за скобку.

$(x - 1) (x + 2) = 10$ . Справа не ноль — сначала раскрываем скобки и переносим: $x^{2} + x - 2 - 10 = 0$ , $x^{2} + x - 12 = 0$ , корни $3$ и $- 4$ . Больший: $3$ .

Число корней и параметр

$D > 0$ два различных корня

$D = 0$ один корень

x = - \frac{b}{2 a}

$D < 0$ корней нет

$5 x^{2} - 9 x + 6 = 0$ : $D = 81 - 120 = - 39 < 0$ — корней нет.

При каком наименьшем целом $a$ уравнение $x^{2} - 20 x + a = 0$ не имеет корней?

$D = 400 - 4 a < 0$ $\Rightarrow$ $a > 100$ .
Наименьшее целое: $101$ .

При каком $a$ число $- 8$ — корень $x^{2} + a x - 8 = 0$ ?

Подставляем $x = - 8$ : $64 - 8 a - 8 = 0$ .
$8 a = 56$ , $a = 7$ .

Если параметр стоит при $x^{2}$ , отдельно разберите случай, когда этот коэффициент равен 0: уравнение станет линейным. Например, $a x^{2} + b x + c = 0$ имеет ровно один корень и при $D = 0$ , и при $a = 0$ (если $b \neq = 0$ ).

Разность корней: $∣ x_{1} - x_{2} ∣ = \frac{D www.reknow.ru}{∣ a ∣}$ .

Замена переменной

Биквадратное уравнение $x^{4} + b x^{2} + c = 0$ решают заменой $t = x^{2}$ , $t \geq 0$ .

$t > 0$ даёт два корня

x = \pm t www.reknow.ru

$t = 0$ даёт один корень

x = 0

$t < 0$ корней не даёт

Наибольший корень $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ .

$t = x^{2}$ : $t^{2} - 10 t + 9 = 0$ , $t = 1$ или $t = 9$ .
$x^{2} = 1$ $\Rightarrow$ $x = \pm 1$ ; $x^{2} = 9$ $\Rightarrow$ $x = \pm 3$ .
Наибольший: $3$ .

$x^{4} - x^{2} = 0$ : $x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ $\Rightarrow$ $x = 0$ , $x = \pm 1$ — три различных корня.

Буквой заменяют любой повторяющийся «кусок»: $(2 x + 1)^{2} - 5 (2 x + 1) + 6 = 0$ — замена $t = 2 x + 1$ ; $(x^{2} - 3 x)^{2} \dots$ — замена $t = x^{2} - 3 x$ .

Дробно-рациональные уравнения

Записать ОДЗ: знаменатели $\neq = 0$ .
Умножить на общий знаменатель.
Решить получившееся уравнение.
Проверить корни по ОДЗ.

Больший корень $x - \frac{24}{x} = - 2$ .

ОДЗ: $x \neq = 0$ .
$\cdot x$ : $x^{2} - 24 = - 2 x$ , $x^{2} + 2 x - 24 = 0$ .
$x = 4$ или $x = - 6$ — оба в ОДЗ. Больший: $4$ .

$\frac{x ^{2} - 361}{x + 19} = 0$

Числитель $= 0$ : $x = \pm 19$ .
Знаменатель $\neq = 0$ : $x \neq = - 19$ .
Единственный корень $19$ .

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a d = b c$ при $b \neq = 0$ , $d \neq = 0$ (пропорция). Корень, совпавший с запретом ОДЗ, — посторонний, его отбрасывают.

Посмотреть и посчитать

Модели

Квадратичная функция

Серия: 0