Тема 04 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Составление уравнения по корням

Теорема Виета и свойства корней. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Корни уравнения можно и не находить: их сумма и произведение «записаны» прямо в коэффициентах. Это экономит время в устном счёте и позволяет решать задачи, где сами корни некрасивые, а ответ — целое число.

a x^{2} + b x + c = 0 : x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

теорема Виета;

x_{1}, x_{2}

— корни,

a, b, c

— коэффициенты

x^{2} + p x + q = 0 : x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} x_{2} = q

для приведённого уравнения (

a = 1

)

Формулы верны, только если корни есть: $D \geq 0$ . Для $x^{2} + x + 5 = 0$ «сумма корней $- 1$ » — бессмыслица, корней нет.

Сумма и произведение

$6 x^{2} + 10 x - 15 = 0$ : $D = 100 + 360 > 0$ ; сумма корней $- \frac{10}{6} = - \frac{5}{3}$ .

Найдите сумму корней $(x + 4) (x + 2) = 8$ .

Сначала приводим к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ : $x^{2} + 6 x + 8 = 8$ , $x^{2} + 6 x = 0$ .
Сумма $- 6$ .

Справа должен быть ноль! В уравнении $(x + 4) (x + 2) = 8$ корни не $- 4$ и $- 2$ .

Один корень $x^{2} + x - 6 = 0$ равен $2$ . Второй по сумме: $x_{2} = - 1 - 2 = - 3$ (проверка по произведению: $2 \cdot (- 3) = - 6$ ✓). Для $x^{2} + 10 x = 0$ при $x_{1} = - 10$ второй корень $0$ .

Симметрические выражения

Обозначим $S = x_{1} + x_{2}$ , $P = x_{1} x_{2}$ . Любое выражение, не меняющееся при перестановке корней, выражается через $S$ и $P$ :

Выражение	Через $S$ и $P$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$	$S^{2} - 2 P$
$(x_{1} - x_{2})^{2}$	$S^{2} - 4 P$
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$	$\frac{S}{P}$
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$	$S^{3} - 3 PS$
$\frac{x _{1}}{x _{2}} + \frac{x _{2}}{x _{1}}$	$\frac{S ^{2} - 2 P}{P}$

$x_{1}, x_{2}$ — корни $x^{2} - 5 x + 5 = 0$ . Найдите $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ .

$D = 25 - 20 > 0$ ; $S = 5$ , $P = 5$ .
$S^{3} - 3 PS = 125 - 75 = 50$ .

$x^{2} - 14 x - 26 = 0$ : $(x_{1} - x_{2})^{2} = S^{2} - 4 P = 196 + 104 = 300$ .

Все формулы выводятся из одной: $(x_{1} + x_{2})^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$ , откуда $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ .

Уравнение по корням

x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2} = 0

обратная теорема Виета: приведённое уравнение с корнями

x_{1}, x_{2}

Корни $8$ и $- 4$ : $S = 4$ , $P = - 32$ $\Rightarrow$ $x^{2} - 4 x - 32 = 0$ .

Новые корни	Новая сумма	Новое произведение
$k x_{1}, k x_{2}$	$k S$	$k^{2} P$
$x_{1} + 1, x_{2} + 1$	$S + 2$	$P + S + 1$

Корни $x^{2} + 9 x + 12 = 0$ умножили на 5. Найдите свободный член нового приведённого уравнения.

$D = 81 - 48 > 0$ , $P = 12$ .
Новое произведение $5^{2} \cdot 12 = 300$ — это и есть свободный член.

Знаки корней без решения

Порядок рассуждения: существование корней → произведение → сумма

$5 x^{2} + 6 x - 10 = 0$ : $P = - \frac{10}{5} = - 2 < 0$ — корни разных знаков. (При $P < 0$ всегда $D > 0$ , проверять не нужно.)

Если $P = 0$ , один из корней равен нулю. У корней разных знаков больше по модулю тот, чей знак совпадает со знаком суммы.

Параметр через соотношение корней

Условие переводим в равенства через $S$ и $P$ , находим параметр и проверяем $D \geq 0$ .

$x_{2} = k x_{1}$

P = k x_{1}^{2}

S = (1 + k) x_{1}

$x_{1} - x_{2} = d$

d^{2} = S^{2} - 4 P

Корни $x^{2} + a x + 320 = 0$ положительны, один в 5 раз больше другого. Найдите $a$ .

$x_{2} = 5 x_{1}$ : $P = 5 x_{1}^{2} = 320$ , $x_{1}^{2} = 64$ , $x_{1} = 8$ (корни положительны).
$x_{2} = 40$ , $S = 48$ .
$a = - S = - 48$ .

При каком $a$ число 9 — корень $x^{2} - 9 x + a = 0$ ? Подставляем: $81 - 81 + a = 0$ , $a = 0$ .

Серия: 0