Интерактивные тренажёры

Делимость, сравнения и многочлены 10 класс

Остатки и сравнения по модулю, НОД и НОК, теорема Безу, схема Горнера, корни многочленов. 500 заданий: пять подтем по сто. Тема разделена на 5 подтем — страница открывается быстрее, а прогресс считается отдельно по каждой.

5 подтем · 500 заданий
01 Остатки и сравнения по модулю100 заданий › 02 Делители, НОД и НОК100 заданий › 03 Теорема Безу100 заданий › 04 Схема Горнера и деление многочленов100 заданий › 05 Целые и рациональные корни многочленов100 заданий ›
Учителю

Готовые работы по теме

Собраны заранее — одним нажатием: распечатать с ключом, раздать ученикам ссылкой или QR-кодом, поменять настройки. Номер набора постоянный: по этой ссылке всегда та же работа.

Самостоятельная

10 заданий · 2 варианта · с ключом

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Контрольная

15 заданий · онлайн, 40 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

Диагностика перед темой

8 заданий · 15 минут

РаспечататьРаздать ссылкойИзменить

теория этой темы, 8 заданий по подтемам и ключ — файлом DOCX, который можно править под себя.

Учителю о теме

Что проверяется

  • Остатки и сравнения по модулю
  • Делители, НОД и НОК
  • Теорема Безу
  • Схема Горнера и деление многочленов
  • Целые и рациональные корни многочленов

Содержание

На бумаге — не больше 25: дальше лист перестаёт быть работой на урок. Онлайн — до 40.

Не нравится задание в собранном листе — нажмите «заменить» под ним: вместо него встанет другое из той же подтемы.

Варианты

Разные задания при одинаковом наборе тем и одинаковом числе заданий.

Прохождение онлайн

Имя ученика никуда не отправляется: он вводит только номер по списку, а таблицу «номер → фамилия» видите только вы.

Оценка
Печать

Собранный лист можно скачать файлом Word — кнопка «Скачать DOCX» над листом: задания, место под решение и ключ, всё редактируется.

Печатается над каждым вариантом. Хранится только в этом браузере, в ссылку не попадает.

По одному и тому же номеру собирается та же работа — ссылку можно сохранить и вернуться к ней позже.

Классы, выданные работы и результаты учеников по кодам — в журнале учителя: без регистрации, хранится только на этом компьютере.

Выберите тему, чтобы начать.

Примеры заданий

Это по одному заданию из каждой подтемы — остальные открываются на страницах подтем.

При каком наименьшем натуральном n число 12n − 1 делится на 7?
12n − 1 ⋮ 7
Показать ответ
Ответ: 6
Решение. 1) 12n − 1 делится на 7 ⇔ 12n ≡ 1 (mod 7).
2) Остатки степеней 12 при делении на 7: 5, 4, 6, 2, 3, 1.
3) Впервые остаток 1 получается при n = 6.
Сколько натуральных чисел от 1 до 453 делятся на 2 или на 7?
n ≤ 453: n ⋮ 2 или n ⋮ 7
Показать ответ
Ответ: 258
Решение. 1) Делятся на 2: [4532] = 226 чисел; на 7: [4537] = 64.
2) Числа, делящиеся на оба, посчитаны дважды: это кратные НОК(2; 7) = 14, их [45314] = 32.
3) 226 + 64 − 32 = 258.
При каком p многочлен при делении на (x − 2) даёт остаток −31?
P(x) = x⁴ + px³ − 9x − 5
Показать ответ
Ответ: -3
Решение. 1) По теореме Безу остаток от деления на (x − 2) равен P(2).
2) P(2) = 2⁴ + p·2³ + −9·2 + (−5) = −7 + 8p.
3) −7 + 8p = −31 ⇒ p = −3.
Многочлен P(x) делится на x² + 2x + 4 без остатка. Найдите значение частного Q(x) при x = −2.
P(x) = x⁴ + 8x³ + 19x² + 30x + 12
Показать ответ
Ответ: -5
Решение. 1) Делим «уголком»: старший член частного x², затем вычитаем x²·(x² + 2x + 4).
2) Получаем частное Q(x) = x² + 6x + 3 без остатка (проверка: (x² + 2x + 4)(x² + 6x + 3) = x⁴ + 8x³ + 19x² + 30x + 12).
3) Q(−2) = (−2)² + 6·(−2) + 3 = −5.
Какое из чисел является корнем многочлена?
P(x) = x³ + x² − 18x + 72
  • −3
  • −12
  • 6
  • −6
Показать ответ
Ответ: −6
Решение. 1) Целые корни ищут среди делителей свободного члена 72.
2) Подставляем варианты: P(−6) = 0; P(6) = 216; P(−12) = −1296; P(−3) = 108.
3) Корень: −6.