Тема 01 · Алгебра и начала анализа, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Теорема Безу

Делимость, сравнения и многочлены. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Часы показывают время «по модулю 12»: через 15 часов после 10:00 будет не 25, а 1 час. Остатки при делении так же «зацикливаются» — и это позволяет находить остаток огромного числа, не вычисляя его. С многочленами похоже: остаток от деления на $(x - a)$ находится простой подстановкой $x = a$ .

$a \equiv b (mod m)$ (« $a$ сравнимо с $b$ по модулю $m$ »), если $a$ и $b$ дают одинаковые остатки при делении на $m$ , то есть $a - b$ делится на $m$ .

Остатки и сравнения

Сравнения можно складывать, умножать и возводить в степень: каждое число заменяем его остатком и считаем с маленькими числами.

Остаток от деления $809 \cdot 476 \cdot 130 + 38$ на 8.

$809 \equiv 1$ , $476 \equiv 4$ , $130 \equiv 2$ , $38 \equiv 6 (mod 8)$ .
$1 \cdot 4 \cdot 2 + 6 = 14 \equiv 6$ . Ответ: 6.

Остатки степеней повторяются с периодом: $a^{n} \equiv a^{t}$ , где $t$ — остаток $n$ от деления на длину периода. Последняя цифра числа — его остаток по модулю 10, она зависит только от последней цифры основания.

12 \equiv 5 (mod 7)

. Степени пятёрки обходят остатки

5, 4, 6, 2, 3

и возвращаются в

1

на шестом шаге

При каком наименьшем натуральном $n$ число $1 2^{n} - 1$ делится на 7?

Нужно $1 2^{n} \equiv 1 (mod 7)$ , а $12 \equiv 5$ .
Степени $5$ по модулю 7: $5, 4, 6, 2, 3, 1$ — впервые $1$ при $n = 6$ .

Делители, НОД и НОК

Факт	Формула
Число делителей $n = p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \dots$	$(k_{1} + 1) (k_{2} + 1) \dots$ ; у $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ их $4 \cdot 3 = 12$
Алгоритм Евклида	$НОД (a, b) = НОД (b, a mod b)$
НОК	$НОК (a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД ( a , b )}$
Сколько чисел от 1 до $N$ делятся на $a$	$[\frac{N}{a}]$ — целая часть

[\frac{N}{a}] + [\frac{N}{b}] - [\frac{N}{НОК ( a , b )}]

формула включений и исключений: сколько чисел от 1 до

N

делятся на

a

или на

b

Сколько чисел от 1 до 357 делятся на 6 или на 7?

На 6: $[357/6] = 59$ ; на 7: $[357/7] = 51$ .
На оба сразу — на $НОК (6, 7) = 42$ : $[357/42] = 8$ . Они посчитаны дважды.
$59 + 51 - 8 = 102$ .

Вычитают числа, кратные НОК, а не произведению. Для 4 и 6 это 12, а не 24.

При скольких натуральных $n$ дробь $\frac{n ^{2} + 4}{n + 9}$ — целое число?

Выделим целую часть делением многочлена: $n^{2} + 4 = (n + 9) (n - 9) + 85$ , то есть $\frac{n ^{2} + 4}{n + 9} = n - 9 + \frac{85}{n + 9}$ .
Значит, $n + 9$ — делитель 85: $1, 5, 17, 85$ . При натуральном $n$ имеем $n + 9 \geq 10$ , остаются $17$ и $85$ .
$n = 8$ или $n = 76$ — два значения (наибольшее — 76).

Теорема Безу

P (x) = (x - a) \cdot Q (x) + P (a)

остаток от деления многочлена

P (x)

на

(x - a)

равен

P (a)

$P (a) = 0$

P (x)

делится на

(x - a)

a

— корень.

$P (1)$ Сумма всех коэффициентов.

$\frac{P ( 1 ) + P ( - 1 )}{2}$ Сумма коэффициентов при чётных степенях.

Деление на $(x - a) (x - b)$ Остаток

k x + m

находят из

ka + m = P (a)

kb + m = P (b)

При каком $p$ многочлен $x^{4} + p x^{3} - 9 x - 5$ при делении на $(x - 2)$ даёт остаток $- 31$ ?

По Безу $P (2) = - 31$ : $16 + 8 p - 18 - 5 = - 31$ .
$8 p = - 24$ , $p = - 3$ .

Остаток от деления $5 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 2$ на $5 x + 1$ .

$5 x + 1 = 5 (x + \frac{1}{5})$ , остаток — число, равное $P (- \frac{1}{5})$ .
$- \frac{5}{125} - \frac{5}{25} + \frac{2}{5} - 2 = - 0, 04 - 0, 2 + 0, 4 - 2 = - 1, 84$ .

Сумма коэффициентов при нечётных степенях: $\frac{P ( 1 ) - P ( - 1 )}{2}$ . Для $P (x) = (x - 4)^{3} (x + 3)^{2}$ : $P (1) = - 27 \cdot 16 = - 432$ , $P (- 1) = - 125 \cdot 4 = - 500$ , сумма $\frac{- 432 + 500}{2} = 34$ .

Схема Горнера

Делим $P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 0 \cdot x + 5$ на $(x - 2)$ . В первой строке — коэффициенты (пропущенные степени — нулями), слева — $a = 2$ . Первый коэффициент сносим, дальше: предыдущее × $a$ + следующий коэффициент.

	2	−3	0	5
$a = 2$	2	$2 \cdot 2 - 3 = 1$	$1 \cdot 2 + 0 = 2$	$2 \cdot 2 + 5 = 9$

Частное $2 x^{2} + x + 2$ , остаток $9 = P (2)$ . Нулевой остаток — повторяем схему для частного: число нулевых остатков подряд — кратность корня.

$x^{4} + 8 x^{3} + 19 x^{2} + 30 x + 12$ делится на $x^{2} + 2 x + 4$ . Найдите $Q (- 2)$ .

Ищем $Q = x^{2} + b x + c$ : старшие члены дают $2 + b = 8$ , $b = 6$ ; свободные — $4 c = 12$ , $c = 3$ .
Проверка коэффициента при $x^{2}$ : $c + 2 b + 4 = 3 + 12 + 4 = 19$ ✓
$Q (- 2) = 4 - 12 + 3 = - 5$ .

Целые и рациональные корни

Если несократимая дробь $\frac{p}{q}$ — корень многочлена с целыми коэффициентами, то $p$ делит свободный член, а $q$ делит старший коэффициент. При старшем коэффициенте 1 все рациональные корни — целые делители свободного члена.

Какое из чисел — корень $x^{3} + x^{2} - 18 x + 72$ ?

Кандидаты — делители 72. Подставляем $x = - 6$ : $- 216 + 36 + 108 + 72 = 0$ ✓
Ответ: $- 6$ .

Сначала проверьте $x = 1$ (сумма коэффициентов равна 0?) и $x = - 1$ . У $x^{3} - x^{2} + 8 x + 10$ : $- 1 - 1 - 8 + 10 = 0$ — корень $- 1$ найден сразу.

x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 : x_{1} + x_{2} + x_{3} = - b, x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = c, x_{1} x_{2} x_{3} = - d

теорема Виета для кубического уравнения со старшим коэффициентом 1

$x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18 = 0$ . Найдите сумму квадратов корней.

Корень $x = 1$ (сумма коэффициентов $0$ ); по Горнеру частное $x^{2} - 9 x + 18$ , корни $3$ и $6$ .
$1^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 46$ . Проверка по Виету: $(x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) = 100 - 54 = 46$ .

Нецелый корень ищут среди дробей $\frac{p}{q}$ : у $2 x^{3} - x^{2} - 16 x + 15$ корень $1$ даёт частное $2 x^{2} + x - 15 = (x + 3) (2 x - 5)$ , нецелый корень $2, 5$ . Число различных корней считают после разложения: повторяющийся множитель $(x - a)^{2}$ даёт один корень.

Серия: 0

Теорема Безу

Простыми словами

Остатки и сравнения

Делители, НОД и НОК

Теорема Безу

Схема Горнера

Целые и рациональные корни

Примеры заданий