Скалярное произведение и угол между векторами

Простыми словами

Геометрическую задачу можно перевести на язык чисел: точки — координаты, отрезки — векторы, прямые и окружности — уравнения. Тогда вместо догадки о чертеже достаточно аккуратно посчитать.

Скалярное произведение

• $\stackrel{www.reknow.ru}{a}\perp \stackrel{www.reknow.ru}{b}⟺\stackrel{www.reknow.ru}{a}\cdot \stackrel{www.reknow.ru}{b}=0$; если $\stackrel{www.reknow.ru}{a}\cdot \stackrel{www.reknow.ru}{b}>0$ — угол острый, $<0$ — тупой;
• скалярный квадрат $\stackrel{www.reknow.ru}{a}\cdot \stackrel{www.reknow.ru}{a}=|\stackrel{www.reknow.ru}{a}{|}^2$;
• $|\stackrel{www.reknow.ru}{a}\pm \stackrel{www.reknow.ru}{b}{|}^2=|\stackrel{www.reknow.ru}{a}{|}^2\pm 2\stackrel{www.reknow.ru}{a}\cdot \stackrel{www.reknow.ru}{b}+|\stackrel{www.reknow.ru}{b}{|}^2$;
• скобки раскрываются как у многочленов: $(\stackrel{www.reknow.ru}{a}+2\stackrel{www.reknow.ru}{b})(\stackrel{www.reknow.ru}{a}-\stackrel{www.reknow.ru}{b})=|\stackrel{www.reknow.ru}{a}{|}^2+\stackrel{www.reknow.ru}{a}\cdot \stackrel{www.reknow.ru}{b}-2|\stackrel{www.reknow.ru}{b}{|}^2$.

Векторы в фигурах

Выберем два неколлинеарных вектора с общим началом, у которых известны длины и угол, например $\stackrel{www.reknow.ru}{u}=\overrightarrow{AB}$, $\stackrel{www.reknow.ru}{v}=\overrightarrow{AC}$. Любой вектор фигуры выражается через них.

• правило треугольника: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$;
• $M$ — середина $BC$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$;
• $BK:KC=m:n$: $\overrightarrow{AK}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AC}$ (при $1:2$ коэффициент при $\overrightarrow{AC}$ равен $\frac{1}{3}$);
• медиана: $4A{M}^2=A{B}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+A{C}^2$.

Уравнение прямой

• через две точки: $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$;
• параллельные: $k_1=k_2$; перпендикулярные: $k_1{k}_2=-1$;
• точка пересечения — решение системы уравнений;
• серединный перпендикуляр к $AB$ проходит через середину $AB$, а $\overrightarrow{AB}$ — его нормаль.

Уравнение окружности

Уравнение $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ приводят к этому виду выделением полных квадратов: $x^2+Dx={\left(x+\frac{D}{2}\right)}^2-\frac{D^2}{4}$.

• касание оси $Ox$: $R=|b|$, оси $Oy$: $R=|a|$;
• на диаметре $AB$: центр — середина $AB$, $R=\frac{AB}{2}$;
• через три точки — вычесть уравнения попарно; прямая и окружность — подстановка, квадратное уравнение.

Метод координат

• точка пересечения медиан: $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$;
• четвёртая вершина параллелограмма $ABCD$: $D=A+C-B$;
• площадь: $S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$, где $\overrightarrow{AB}(x_1;y_1)$, $\overrightarrow{AC}(x_2;y_2)$.

Параметр в векторе и основание перпендикуляра