Тема 03 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Векторы в фигурах

Векторы и метод координат. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Геометрическую задачу можно перевести на язык чисел: точки — координаты, отрезки — векторы, прямые и окружности — уравнения. Тогда вместо догадки о чертеже достаточно аккуратно посчитать.

ВекторыДлины и углы считаем через скалярное произведение.

КоординатыРасстояния, середины, пересечения — формулы и системы уравнений.

Скалярное произведение

\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣ ∣ \overset{www.reknow.ru}{b} ∣ cos φ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

φ

— угол между векторами,

(x_{1}; y_{1})

(x_{2}; y_{2})

— их координаты; результат — число

cos φ = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{∣ a www.reknow.ru ∣ ∣ b www.reknow.ru ∣}

$\overset{a}{www.reknow.ru} ⊥ \overset{www.reknow.ru}{b} ⟺ \overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = 0$ ; если $\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} > 0$ — угол острый, $< 0$ — тупой;
скалярный квадрат $\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{a}{www.reknow.ru} = ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣^{2}$ ;
$∣ \overset{a}{www.reknow.ru} \pm \overset{www.reknow.ru}{b} ∣^{2} = ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣^{2} \pm 2 \overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} + ∣ \overset{www.reknow.ru}{b} ∣^{2}$ ;
скобки раскрываются как у многочленов: $(\overset{a}{www.reknow.ru} + 2 \overset{www.reknow.ru}{b}) (\overset{a}{www.reknow.ru} - \overset{www.reknow.ru}{b}) = ∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣^{2} + \overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} - 2∣ \overset{www.reknow.ru}{b} ∣^{2}$ .

$∣ \overset{a}{www.reknow.ru} ∣ = 12$ , $∣ \overset{www.reknow.ru}{b} ∣ = 2$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найти $∣ \overset{a}{www.reknow.ru} - \overset{www.reknow.ru}{b} ∣^{2}$ .

$\overset{a}{www.reknow.ru} \cdot \overset{www.reknow.ru}{b} = 12 \cdot 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 12$ .
$∣ \overset{a}{www.reknow.ru} - \overset{www.reknow.ru}{b} ∣^{2} = 144 - 2 \cdot (- 12) + 4 = 172$ .

Векторы в фигурах

Выберем два неколлинеарных вектора с общим началом, у которых известны длины и угол, например $\overset{u}{www.reknow.ru} = \overset{www.reknow.ru}{A B}$ , $\overset{v}{www.reknow.ru} = \overset{www.reknow.ru}{A C}$ . Любой вектор фигуры выражается через них.

правило треугольника: $\overset{www.reknow.ru}{A C} = \overset{www.reknow.ru}{A B} + \overset{www.reknow.ru}{BC}$ ;
$M$ — середина $BC$ : $\overset{www.reknow.ru}{A M} = \frac{1}{2} (\overset{www.reknow.ru}{A B} + \overset{www.reknow.ru}{A C})$ ;
$B K : K C = m : n$ : $\overset{www.reknow.ru}{A K} = \frac{n}{m + n} \overset{www.reknow.ru}{A B} + \frac{m}{m + n} \overset{www.reknow.ru}{A C}$ (при $1 : 2$ коэффициент при $\overset{www.reknow.ru}{A C}$ равен $\frac{1}{3}$ );
медиана: $4 A M^{2} = A B^{2} + 2 \overset{www.reknow.ru}{A B} \cdot \overset{www.reknow.ru}{A C} + A C^{2}$ .

$∠ A = 12 0^{\circ}$ , $A B = 2$ , $A C = 4$ , $M$ — середина $BC$ . Найти $\overset{www.reknow.ru}{M A} \cdot \overset{www.reknow.ru}{BC}$ .

$\overset{www.reknow.ru}{M A} = - \frac{1}{2} (\overset{u}{www.reknow.ru} + \overset{v}{www.reknow.ru})$ , $\overset{www.reknow.ru}{BC} = \overset{v}{www.reknow.ru} - \overset{u}{www.reknow.ru}$ .
Произведение: $- \frac{1}{2} (\overset{v}{www.reknow.ru} + \overset{u}{www.reknow.ru}) (\overset{v}{www.reknow.ru} - \overset{u}{www.reknow.ru}) = - \frac{1}{2} (∣ \overset{v}{www.reknow.ru} ∣^{2} - ∣ \overset{u}{www.reknow.ru} ∣^{2}) = - \frac{1}{2} (16 - 4) = - 6$ .

Коэффициенты при делении $B K : K C = m : n$ «перекрёстные»: при $\overset{www.reknow.ru}{A B}$ стоит $n$ , при $\overset{www.reknow.ru}{A C}$ — $m$ . Чем ближе $K$ к $B$ , тем больше вес $\overset{www.reknow.ru}{A B}$ .

Уравнение прямой

y = k x + b или a x + b y = c

k

— угловой коэффициент; вектор

(a; b)

перпендикулярен прямой

a x + b y = c

через две точки: $k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ ;
параллельные: $k_{1} = k_{2}$ ; перпендикулярные: $k_{1} k_{2} = - 1$ ;
точка пересечения — решение системы уравнений;
серединный перпендикуляр к $A B$ проходит через середину $A B$ , а $\overset{www.reknow.ru}{A B}$ — его нормаль.

При каком $m$ прямая $y = m x - 3$ проходит через точку пересечения $x - y = 9$ и $- 5 x - 5 y = 5$ ?

Второе: $x + y = - 1$ . Складываем с первым: $2 x = 8$ , $x = 4$ , $y = - 5$ .
$- 5 = 4 m - 3$ , $m = - 0, 5$ .

Уравнение окружности

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

(a; b)

— центр,

R

— радиус

Уравнение $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ приводят к этому виду выделением полных квадратов: $x^{2} + D x = (x + \frac{D}{2})^{2} - \frac{D ^{2}}{4}$ .

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y + 49 = 0$ : $(x - 3)^{2} + (y - 7)^{2} = 9 + 49 - 49 = 9$ , $R^{2} = 9$ — площадь круга $9 π$ .

Центр

Q (- 15; 9)

, окружность касается

O y

⇒

R = 15

; половина хорды на

O x

1 5^{2} - 9^{2} www.reknow.ru = 12

, хорда

24

касание оси $O x$ : $R = ∣ b ∣$ , оси $O y$ : $R = ∣ a ∣$ ;
на диаметре $A B$ : центр — середина $A B$ , $R = \frac{A B}{2}$ ;
через три точки — вычесть уравнения попарно; прямая и окружность — подстановка, квадратное уравнение.

Метод координат

A B^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}, M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

расстояние между точками и середина отрезка

точка пересечения медиан: $(\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}; \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})$ ;
четвёртая вершина параллелограмма $A BC D$ : $D = A + C - B$ ;
площадь: $S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ , где $\overset{www.reknow.ru}{A B} (x_{1}; y_{1})$ , $\overset{www.reknow.ru}{A C} (x_{2}; y_{2})$ .

На $O x$ найти точку $P (x; 0)$ , равноудалённую от $A (0; - 4)$ и $B (- 5; - 5)$ .

$x^{2} + 16 = (x + 5)^{2} + 25$ — квадраты $x^{2}$ сокращаются.
$16 = 10 x + 50$ , $x = - 3, 4$ .

$A (- 4; - 2)$ , $B (- 1; - 6)$ , $C (1; - 2)$ : $\overset{www.reknow.ru}{A B} (3; - 4)$ , $\overset{www.reknow.ru}{A C} (5; 0)$ , $cos A = \frac{15}{5 \cdot 5} = 0, 6$ .

Параметр в векторе и основание перпендикуляра

При каком $t$ вектор $\overset{a}{www.reknow.ru} + t \overset{www.reknow.ru}{b}$ перпендикулярен $\overset{c}{www.reknow.ru}$ ? $\overset{a}{www.reknow.ru} (0; - 3)$ , $\overset{www.reknow.ru}{b} (1; - 4)$ , $\overset{c}{www.reknow.ru} (2; 1)$ .

$\overset{a}{www.reknow.ru} + t \overset{www.reknow.ru}{b} = (t; - 3 - 4 t)$ .
Перпендикулярность — скалярное произведение равно нулю: $2 t + (- 3 - 4 t) \cdot 1 = 0$ , $- 2 t - 3 = 0$ , $t = - 1, 5$ .

Из точки $P (3; 9)$ опущен перпендикуляр $P H$ на прямую $y = x + 4$ . Найти $H$ .

Угловой коэффициент перпендикуляра: $k_{1} k_{2} = - 1$ , $k = - 1$ . Прямая $P H$ : $y - 9 = - (x - 3)$ , то есть $y = - x + 12$ .
$H$ — пересечение: $x + 4 = - x + 12$ , $x = 4$ , $y = 8$ . Сумма координат $12$ .

Прямая через точку $P (x_{0}; y_{0})$ с угловым коэффициентом $k$ : $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ . Параллельная прямой $y = k x + b$ — с тем же $k$ .

Серия: 0

Векторы в фигурах

Простыми словами

Скалярное произведение

Векторы в фигурах

Уравнение прямой

Уравнение окружности

Метод координат

Параметр в векторе и основание перпендикуляра

Примеры заданий