Тема 01 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Теорема косинусов: стороны и углы

Решение треугольников. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Треугольник задают три элемента: три стороны, две стороны и угол, сторона и два угла. «Решить треугольник» — найти остальное. Для этого хватает двух инструментов: теоремы косинусов и теоремы синусов.

Сторона

a = BC

лежит против угла

A

b = A C

— против

B

c = A B

— против

C

Теорема косинусов

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

квадрат стороны = сумма квадратов двух других − удвоенное их произведение на косинус угла между ними

При $A = 9 0^{\circ}$ получается теорема Пифагора. Полезные частные случаи:

$A = 6 0^{\circ}$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ; $A = 12 0^{\circ}$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$ ;
угол по трём сторонам: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ ;
если неизвестна сторона, прилежащая к данному углу, — получится квадратное уравнение, берём положительный корень.

$∠ A = 12 0^{\circ}$ , $A B = 39$ , $BC = 49$ . Найти $A C = x$ .

$BC$ лежит против $A$ : $4 9^{2} = 3 9^{2} + x^{2} + 39 x$ .
$x^{2} + 39 x - 880 = 0$ , $x = \frac{- 39 + 71}{2} = 16$ .

$A B = 43$ , $BC = 35$ , $A C = 13$ . Угол $C$ лежит против $A B$ : $cos C = \frac{3 5 ^{2} + 1 3 ^{2} - 4 3 ^{2}}{2 \cdot 35 \cdot 13} = \frac{- 455}{910} = - \frac{1}{2}$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ .

Против большей стороны — больший угол. Знак $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ сразу говорит, острый угол $A$ ( $> 0$ ), прямой ( $= 0$ ) или тупой ( $< 0$ ).

Теорема синусов

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

R

— радиус описанной окружности

даны два угла и сторона — третий угол из суммы $18 0^{\circ}$ , затем пропорция;
$sin A : sin B : sin C = a : b : c$ ;
расстояние от центра описанной окружности до стороны $a$ : $R^{2} - (\frac{a}{2})^{2} www.reknow.ru = R ∣ cos A ∣$ .

$BC = 4$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найти $R$ .

$∠ A = 9 0^{\circ}$ , $2 R = \frac{4}{s i n 9 0 ^{\circ}} = 4$ , $R = 2$ .

$sin A : sin B : sin C = 8 : 7 : 3$ . Значит, стороны $8 : 7 : 3$ (периметр не нужен). Средний угол против 7: $cos = \frac{64 + 9 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 3} = \frac{1}{2}$ , угол $6 0^{\circ}$ .

Медиана и биссектриса через стороны

m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}, (2 m_{a})^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b c cos A

m_{a}

— медиана к стороне

a

; формулы получаются удвоением медианы (достраиваем до параллелограмма)

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 40$ , $A C = 35$ , $A M$ — медиана.

$(2 m)^{2} = 1600 + 1225 + 2 \cdot 40 \cdot 35 \cdot \frac{1}{2} = 4225$ .
$2 m = 65$ , $A M = 32, 5$ .

Биссектриса $A D$ : $B D : D C = A B : A C$ ; длина $l^{2} = A B \cdot A C - B D \cdot D C$ ; при $∠ A = 12 0^{\circ}$ $l = \frac{b c}{b + c}$ .

Параллелограмм, вид треугольника, проекции

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

сумма квадратов диагоналей параллелограмма = сумма квадратов всех сторон

Меньшая диагональ лежит против острого угла $α$ : $d^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos α$ ; большая — против тупого: $d^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos α$ . Если даны диагонали и угол между ними — стороны ищем из треугольника с половинами диагоналей.

Диагонали 18 и 30, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Большая сторона лежит против угла $12 0^{\circ}$ в треугольнике со сторонами 9 и 15: $81 + 225 + 135 = 441$ , сторона $21$ .

$A B = 24$ , $A D = 11$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ : большая диагональ $B D^{2} = 576 + 121 + 264 = 961$ , $B D = 31$ .

Пусть $c$ — наибольшая сторона. $c^{2} < a^{2} + b^{2}$ — остроугольный, $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ — прямоугольный, $c^{2} > a^{2} + b^{2}$ — тупоугольный. Пример: $12, 14, 3$ : $196 > 144 + 9$ — тупоугольный.

Проекция: $A H = A B \cdot ∣ cos A ∣$ , высота $B H^{2} = A B^{2} - A H^{2}$ . Если $∠ A$ тупой, основание высоты из $B$ лежит на продолжении $A C$ .

Косинус по синусу: $cos α = \pm 1 - sin^{2} α www.reknow.ru$ — знак выбирают по виду угла (тупой — минус). А $cos C$ в теореме косинусов — угла между двумя данными сторонами: $A B^{2} = 2 0^{2} + 1 6^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 16 \cdot \frac{1}{8} = 576$ , $A B = 24$ .

Серия: 0