Учебник reknow · 11 класс

Математика (база): теория

21 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

ЕГЭ база, задание 1: практические расчёты
Задание 2 ЕГЭ (база). Величины и их значения
Задание 3 ЕГЭ (база). Чтение диаграммы
Задание 4 ЕГЭ (база). Вычисление по формуле
Задание 5 ЕГЭ (база). Классическая вероятность
Задание 6 ЕГЭ (база). Выбор выгодного варианта
Задание 7 ЕГЭ (база). Характер изменения величины по графику
Задание 8 ЕГЭ (база). Логика: какие утверждения верны
Задание 9 ЕГЭ (база). Площадь фигуры на клетчатом плане
Задание 10 ЕГЭ (база). Площадь и периметр участка
Задание 11 ЕГЭ (база). Объём жидкости и тел в сосудах
Задание 12 ЕГЭ (база). Планиметрия
Задание 13 ЕГЭ (база). Стереометрия
Задание 14 ЕГЭ (база). Значение числового выражения
Задание 15 ЕГЭ (база). Проценты
Задание 16 ЕГЭ (база). Выражения с корнями и тригонометрией
Задание 17 ЕГЭ (база). Простейшие уравнения
Задание 18 ЕГЭ (база). Числа на прямой и решения неравенств
Задание 19 ЕГЭ (база). Числа с заданными свойствами
Задание 20 ЕГЭ (база). Текстовые задачи
Задание 21 ЕГЭ (база). Задачи на смекалку

Задание 1 · Математика (база)

ЕГЭ база, задание 1: практические расчёты

Простыми словами

Задание 1 — это задача из жизни: сколько пачек клея купить, сколько сдачи дадут на заправке, сколько шоколадок можно купить на 500 ₽. Вычисления простые, а главное — понять, в какую сторону округлить результат деления.

Умение выполнять арифметические действия с целыми числами и дробями в бытовой ситуации и правильно округлять по смыслу задачи. Ответ — одно число (целое или десятичная дробь), без единиц измерения. Задание оценивается в $1$ балл.

Вверх или вниз?

Неполной пачки не купишь; неполную шоколадку на остаток денег — тоже

Округляем вверх«Сколько нужно купить / выделить, чтобы хватило всем»: пачки, автобусы, комнаты, шлюпки. Даже при маленьком остатке берём на одну больше.

Округляем вниз«Сколько можно купить на эту сумму», «сколько полных коробок получится». Остатка не хватает на ещё одну штуку.

Разбор типовых задач

Нужно $104$ рулона обоев, $1$ пачка клея — на $4$ рулона. Наименьшее число пачек?

$104 : 4 = 26$ — делится нацело.
Ответ: $26$ . (Было бы $105$ рулонов — $26, 25$ , тогда покупаем $27$ .)

Отдали $2500$ ₽, залили $39$ л бензина по $62$ ₽. Сколько сдачи?

Стоимость: $39 \cdot 62 = 2418$ ₽.
Сдача: $2500 - 2418 = 82$ ₽. Ответ: $82$ .

Шоколадка стоит $58$ ₽. Сколько шоколадок можно купить на $500$ ₽?

$500 : 58 \approx 8, 6$ .
Округляем вниз: $8$ шоколадок ( $8 \cdot 58 = 464 \leq 500$ , а $9 \cdot 58 = 522 > 500$ ).

Умножьте ответ обратно: $26$ пачек $\cdot 4 = 104$ рулона — хватит; $25$ пачек — уже нет. Такая проверка занимает секунды и ловит ошибку округления.

Частые ошибки: округлить «по правилам» ( $25, 3 \to 25$ ), когда нужно вверх; записать в ответ единицы («26 пачек»); перепутать, что из чего вычитать в задаче про сдачу.

Задание 2 · Математика (база)

Задание 2 ЕГЭ (база). Величины и их значения

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Никто не спутает массу кошки и массу грузовика: 4 кг и 10 т отличаются в тысячи раз. Задание 2 проверяет именно это чувство масштаба — нужно понять, какого порядка величина, а не знать её точно.

Даны 4 величины (А, Б, В, Г) и 4 значения (1–4). Каждой величине подходит ровно одно значение. Ответ — 4 цифры подряд, без пробелов: на месте А — номер значения для А, и т. д. Задание оценивается в 1 балл.

Порядок величины — «масштаб» числа: единицы, десятки, сотни, тысячи… Например, у $1, 7$ м и $3$ м порядок одинаковый (метры), а у $300$ м — в сто раз больше.

Шкала масштабов

Каждый шаг шкалы — в 10 раз больше предыдущего. Полезно держать в голове несколько «опорных» предметов.

Шкала длин: каждая отметка в 10 раз больше соседней слева

Опорные значения

Величина	Ориентиры
Масса	яблоко ≈ 150–200 г; человек ≈ 50–90 кг; легковой автомобиль ≈ 1–2 т; слон ≈ 5 т
Длина	лист А4 — 21 × 29,7 см; рост человека ≈ 1,5–1,9 м; этаж ≈ 3 м
Время	урок — 45 мин; фильм ≈ 1,5–2 ч; сон ≈ 8 ч; учебный год — 9 месяцев
Площадь	тетрадь ≈ 0,03 м²; комната ≈ 10–20 м²; квартира ≈ 40–100 м²; футбольное поле ≈ 7000 м²
Объём	стакан ≈ 200 мл; ведро ≈ 10 л; ванна ≈ 200 л

Перевод единиц, который часто нужен:

1 т = 1000 кг, 1 км = 1000 м, 1 ч = 60 мин = 3600 с, 1 л = 1000 мл, 1 га = 10000 м^{2}

Как решать

Прочитайте все значения справа и отметьте, где они «маленькие», а где «огромные».
Найдите самые очевидные пары: величина, которой подходит только одно значение (самое большое или самое маленькое).
Остальные распределите методом исключения.
Запишите ответ: под буквами А, Б, В, Г — номера значений.

А) масса взрослого человека; Б) масса книги; В) масса грузовика; Г) масса таблетки.
1) 10 т; 2) 70 кг; 3) 0,5 кг; 4) 300 мг.

Самое большое — 10 т: это грузовик (В — 1).
Самое маленькое — 300 мг: таблетка (Г — 4).
Из 70 кг и 0,5 кг: человек — 70 кг (А — 2), книга — 0,5 кг (Б — 3).
Ответ: 2314.

Смотрите на единицы, а не только на числа: «300 мг» меньше, чем «0,5 кг», хотя 300 больше 0,5. Сначала приведите значения к одной единице или хотя бы мысленно сравните масштабы.

Порядок цифр в ответе — по буквам А, Б, В, Г, а не по номерам значений. Ответ «3142» значит: А↔3, Б↔1, В↔4, Г↔2.

Сравнивайте со своим опытом: «сколько раз я подниму это?», «сколько шагов это пройти?». Если значение кажется абсурдным (человек весом 5 т, урок длиной 45 с) — оно не подходит.

Задание 3 · Математика (база)

Задание 3 ЕГЭ (база). Чтение диаграммы

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Диаграмма — это таблица, нарисованная картинкой. По горизонтали — «когда» или «что» (месяц, час, товар), по вертикали — «сколько». Задание 3 проверяет, умеете ли вы снять с картинки нужное число.

Обычно спрашивают: наибольшее/наименьшее значение, в какой момент (месяц, час, день) оно было, сколько раз величина превышала уровень, или разность двух значений. Ответ — одно число; задание оценивается в 1 балл.

Как читать столбчатую диаграмму

Каждый столбец — одно значение; его высота показывает величину. Значение читают по шкале слева, проводя мысленно горизонталь от вершины столбца.

Между линиями сетки — 5 °C; вершина самого высокого столбца — 21 °C

Сначала найдите цену деления: разность двух соседних подписанных значений, делённая на число делений между ними. Например, между 15 и 20 одно деление — цена $5$ ; если между ними 5 мелких делений — цена $1$ .

Как читать линейный график

На линейном графике точки соединены отрезками. Линия лишь помогает увидеть тенденцию. Значение в конкретный момент (час, день) — высота точки над этим моментом, а не высота линии между точками.

На графике — число посетителей сайта по часам суток (с 1-го по 24-й час). В каком часу посетителей было больше всего?

Ищем самую высокую точку графика.
Опускаем из неё вертикаль на горизонтальную ось.
Читаем номер часа под ней — например, 9. Записываем номер часа, а не число посетителей.

Ловушки

Читайте вопрос до конца: спрашивают значение (например, 21 °C) или момент (месяц, час, день)? Это разные ответы.

Отрицательные значения (температура зимой) рисуют ниже нуля. «Наименьшая температура» — самая низкая точка, т. е. самое большое по модулю отрицательное число: $- 12 < - 5$ .

Если спрашивают «сколько дней температура была выше 10°», считайте точки строго выше линии 10; точка, лежащая ровно на линии, не подходит.

Положите на график линейку (или край листа) горизонтально — так легче увидеть, какая точка выше и сколько точек выше заданного уровня.

Посмотреть на модели

Интерактивные модели Лаборатории к этому номеру: опыт повторяется сотни раз, и видно, как частота приходит к вероятности.

Диаграммы: столбчатая, круговая и таблицапотяните столбик — и сектор круга, и клетка таблицы поменяются вместе с ним Случайная изменчивость: выборка и гистограммаизмеряйте рост случайных школьников — и смотрите, как из точек складывается гистограмма Диаграмма рассеивания и корреляциятяните точки облака — коэффициент корреляции и прямая идут за ними Ящик с усами: квартили и выбросытяните значения выборки — ящик, усы и точки-выбросы перестраиваются сами

Задание 4 · Математика (база)

Задание 4 ЕГЭ (база). Вычисление по формуле

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Формула — это рецепт: «возьми одно, умножь на другое, раздели на третье». В задании 4 рецепт уже дан, известны все «ингредиенты», кроме одного. Знать физику или геометрию не нужно — нужно аккуратно подставить числа и посчитать.

Два типа заданий: найти левую часть (просто подставить и вычислить) или найти величину из правой части (подставить известное и решить простое уравнение). Ответ — число; 1 балл.

Тип 1: подставить и вычислить

P = \frac{U ^{2}}{R}

мощность постоянного тока

где $P$ — мощность, Вт; $U$ — напряжение, В; $R$ — сопротивление, Ом.

Найдите $P$ , если $U = 6$ В, $R = 9$ Ом.

Сначала степень: $U^{2} = 6^{2} = 36$ .
Потом деление: $P = \frac{36}{9} = 4$ .
Ответ: $4$ (Вт).

Площадь трапеции

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

a

b

— основания,

h

— высота

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ , $a = 26$ , $b = 28$ , $h = 9$ .

Числитель: $a + b = 54$ .
Деление: $\frac{54}{2} = 27$ .
Умножение: $27 \cdot 9 = 243$ . Ответ: $243$ .

Тип 2: найти величину из правой части

Подставляем всё известное — получаем уравнение с одной неизвестной. Решаем его.

$P = \frac{U ^{2}}{R}$ . Найдите $R$ , если $P = 50$ Вт, $U = 10$ В.

Подставляем: $50 = \frac{100}{R}$ .
Неизвестное в знаменателе — умножаем крест-накрест: $50 R = 100$ .
$R = 2$ . Ответ: $2$ (Ом).

Кинетическая энергия $E = \frac{m v ^{2}}{2}$ ( $E$ — энергия, Дж; $m$ — масса, кг; $v$ — скорость, м/с). Найдите $v$ , если $E = 64$ Дж, $m = 2$ кг.

$64 = \frac{2 v ^{2}}{2} = v^{2}$ .
$v = 64 = 8$ (скорость здесь положительна). Ответ: $8$ .

Ловушки

Порядок действий: степень → умножение/деление → сложение/вычитание. В $\frac{a + b}{2} \cdot h$ сначала складывают $a + b$ — черта дроби работает как скобки.

Не перепутайте, какое число к какой букве относится: выпишите отдельной строкой « $a = \dots$ , $b = \dots$ , $h = \dots$ » и только потом подставляйте.

Отрицательные числа подставляйте в скобках: при $t = - 3$ выражение $t^{2} = (- 3)^{2} = 9$ , а не $- 9$ .

Если в формуле есть $sin$ , $cos$ , степень или корень — посчитайте этот кусок отдельно, а потом подставьте результат в остальную формулу.

Задание 5 · Математика (база)

Задание 5 ЕГЭ (база). Классическая вероятность

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

В коробке 10 конфет, 3 из них с орехами. Берём одну не глядя. «Шанс» вытащить с орехами — 3 из 10, то есть $0, 3$ . Это и есть вероятность: какая доля всех вариантов нам подходит.

P (A) = \frac{m}{n}

классическая вероятность

где $P (A)$ — вероятность события $A$ ; $m$ — число благоприятных исходов (тех, что нам подходят); $n$ — число всех равновозможных исходов. Всегда $0 \leq P (A) \leq 1$ .

Противоположное событие

Событие «прибор работает» противоположно событию «прибор не работает»: ровно одно из них обязательно произойдёт.

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

вероятность противоположного события

P (работает) = \frac{377}{400} = 0, 9425 = 1 - \frac{23}{400}

Из 400 приборов в среднем 23 не работают. Какова вероятность, что случайно выбранный прибор работает?

Все исходы: $n = 400$ .
Благоприятные — работающие: $m = 400 - 23 = 377$ .
$P = \frac{377}{400} = 0, 9425$ .

Из 400 насосов 7 подтекают. Найдите вероятность, что выбранный насос не подтекает.

$m = 400 - 7 = 393$ , $n = 400$ .
$P = \frac{393}{400} = 0, 9825$ .

Другие типичные сюжеты

Выступают 20 спортсменов: 8 из России, 7 из Китая, остальные из Японии. Порядок определяется жребием. Какова вероятность, что последним выступит спортсмен из Японии?

Японцев: $20 - 8 - 7 = 5$ .
На последнее место равновозможно попадает любой из 20: $P = \frac{5}{20} = 0, 25$ .

На каждые 100 качественных сумок приходится 4 сумки со скрытым дефектом. Найдите вероятность, что купленная сумка качественная.

Всего в такой «пачке» $100 + 4 = 104$ сумки, а не 100!
$P = \frac{100}{104} \approx 0, 9615 \dots \approx 0, 96$ (округляют, если просят).

Ловушки

Читайте, что спрашивают: «работает» или «не работает», «подтекает» или «не подтекает». Ошибка в одном слове даёт ответ $0, 0575$ вместо $0, 9425$ .

«Из 400 — 23 бракованных» и «на 400 хороших — 23 бракованных» — разные условия: во втором случае $n = 423$ .

Проверка: вероятность не может быть больше 1 или меньше 0. Ответ записывают десятичной дробью ( $0, 97$ ), а не обыкновенной.

Посмотреть на модели

Сумма на двух кубикахбросьте тысячу раз и сравните с теорией Монета: частота и вероятностьбросьте монету тысячу раз и посмотрите, как частота орла приходит к одной второй Игральная кость: гистограмма частотбросьте кубик сто раз и сравните столбики с ровной линией 1/6 Классическая вероятность: благоприятные из всехсоберите набор шаров, отметьте нужные — и вытаскивайте наугад, пока частота не сойдётся с дробью Независимые события и «хотя бы один»включите три ненадёжные лампы разом и посчитайте, как часто горит хотя бы одна

Задание 6 · Математика (база)

Задание 6 ЕГЭ (база). Выбор выгодного варианта

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

В одном магазине товар дешевле, но доставка платная; в другом дороже, зато привезут бесплатно. Что выгоднее? Чтобы ответить, нужно посчитать полную стоимость каждого варианта — со всеми доплатами — и выбрать наименьшую.

Алгоритм: 1) для каждого варианта выписать все составляющие цены; 2) проверить особые условия (порог бесплатной доставки, скидки); 3) сложить; 4) выбрать минимум. В ответ пишут сумму самого дешёвого варианта (если не спрошено иное). 1 балл.

Покупка с доставкой

Нужно купить 20 книг. Условия:

Магазин	Цена книги	Доставка	Особые условия
А	180 ₽	300 ₽	бесплатно при заказе от 4000 ₽
Б	190 ₽	400 ₽	бесплатно при заказе от 3500 ₽
В	170 ₽	500 ₽	нет

А: $20 \cdot 180 = 3600 < 4000$ — доставка платная: $3600 + 300 = 3900$ ₽.
Б: $20 \cdot 190 = 3800 \geq 3500$ — доставка бесплатная: $3800$ ₽.
В: $20 \cdot 170 + 500 = 3400 + 500 = 3900$ ₽.
Минимум — $3800$ ₽ (магазин Б). Ответ: $3800$ .

Розовая часть — доставка. Самая дешёвая книга (В) не дала самой дешёвой покупки

Аренда и топливо

Если дан расход топлива в литрах на 100 км, то на путь $s$ км нужно

V = \frac{q \cdot s}{100}, C = V \cdot c

объём топлива и его стоимость

где $q$ — расход, л на 100 км; $s$ — путь, км; $V$ — нужное топливо, л; $c$ — цена литра, ₽; $C$ — стоимость топлива, ₽.

Поездка 200 км. Автомобиль 1: дизель, расход 7 л/100 км, аренда 3000 ₽/сутки. Автомобиль 2: бензин, 10 л/100 км, аренда 2500 ₽. Дизель — 55 ₽/л, бензин — 50 ₽/л.

Авто 1: топливо $\frac{7 \cdot 200}{100} = 14$ л, $14 \cdot 55 = 770$ ₽; итого $3000 + 770 = 3770$ ₽.
Авто 2: $\frac{10 \cdot 200}{100} = 20$ л, $20 \cdot 50 = 1000$ ₽; итого $2500 + 1000 = 3500$ ₽.
Ответ: $3500$ .

Ловушки

Порог бесплатной доставки проверяют по сумме заказа (цена × количество), а не по цене одного товара. «От 4000 ₽» значит $\geq 4000$ : ровно 4000 ₽ уже даёт бесплатную доставку.

Каждому автомобилю — своё топливо и своя цена литра. Не забудьте умножить литры на цену: в ответ нужны рубли.

Оформляйте расчёт таблицей «вариант → товар → доплата → итого». Так ни одно условие не потеряется.

Задание 7 · Математика (база)

Задание 7 ЕГЭ (база). Характер изменения величины по графику

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Представьте, что идёте по графику слева направо, как по горной тропе. Где тропа идёт вверх — величина растёт, вниз — убывает, по ровному — не меняется. Где подъём самый крутой — там наибольший рост.

Даны 4 интервала (А–Г) и 4 характеристики (1–4). Нужно для каждого интервала найти его характеристику и записать 4 цифры в порядке А, Б, В, Г. 1 балл.

Как сравнивать интервалы

Для каждого интервала сравниваем значение в правом конце со значением в левом:

Ростправое значение больше левого; изменение

Δ = y_{прав} - y_{лев} > 0

Падениеправое меньше левого:

Δ < 0

Не меняласьзначения равны (горизонтальный участок):

Δ = 0

А: от 2 до 3 — медленный рост; Б: 5 → 5 — не менялась; В: 2 → 6 — наибольший рост; Г: 8 → 3 — падение

Разбор

По графику выше подберите характеристики: 1) величина не менялась; 2) величина уменьшалась; 3) наибольший рост среди всех интервалов графика; 4) величина росла, но медленнее, чем на любом другом участке роста.

Сначала ищем «особые» характеристики. Изменения на всех участках графика: $+ 1, + 2, 0, - 1, - 2, + 4, + 2, - 5$ . Наибольший рост $+ 4$ — на интервале В. В — 3.
Б: $5 \to 5$ — не менялась. Б — 1.
Г: $8 \to 3$ — уменьшалась. Г — 2.
Остаётся А: рост на $1$ — медленный. А — 4.
Ответ: 4132.

Ловушки

«Наибольший рост среди всех интервалов графика» — сравнивайте со всеми участками, а не только с выделенными четырьмя. Но интервал из ответа всё равно выбирается среди А–Г.

Смотрите на концы интервала. Если внутри величина сначала росла, а потом упала ниже начального значения, то на интервале в целом она уменьшилась.

Подпишите у каждой точки её значение и между точками — разность со знаком. Дальше задание решается почти автоматически: максимум, минимум, ноль.

Задание 8 · Математика (база)

Задание 8 ЕГЭ (база). Логика: какие утверждения верны

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Петя выше Коли, а Коля выше Вани. Значит, Петя точно выше Вани. А если известно только, что Петя и Ваня оба выше Коли, — кто из них выше, сказать нельзя. Задание 8 проверяет, умеете ли вы отличать то, что обязательно следует из условия, от того, что может быть, а может и не быть.

Утверждение верно, только если оно выполняется при любом раскладе, который не противоречит условию. Если хоть один допустимый расклад делает его ложным — утверждение не выбираем. В ответ записывают номера всех верных утверждений без пробелов и запятых. 1 балл.

Цепочки сравнений

Главное правило — транзитивность: если $a > b$ и $b > c$ , то $a > c$ . Сравнения выстраиваем в цепочку «от дорогого к дешёвому».

Доска дороже проектора. Принтер дороже доски. Принтер дороже проектора.

Склеиваем: Принтер $>$ Доска $>$ Проектор. Порядок известен полностью.
Утверждение «Проектор дешевле принтера» — верно. «Доска — самая дорогая» — неверно. «Проектор дешевле доски» — верно.

Если цепочка разветвляется, некоторые пары сравнить нельзя. Удобно рисовать стрелки «дороже → дешевле».

Пути от «Стола» к «Принтеру» и от «Доски» к «Проектору» нет — эти пары сравнить нельзя

Принтер дороже проектора. Стол дороже проектора. Принтер дороже доски. Какие утверждения верны? 1) Проектор дешевле принтера. 2) Стол дороже принтера. 3) Доска дороже проектора.

1) Прямо дано условием — верно.
2) Стол и принтер оба дороже проектора, но между собой не сравнены — не обязательно.
3) Доска и проектор обе дешевле принтера, их порядок неизвестен — не обязательно.
Ответ: 1.

Как проверить утверждение

Найдите оба объекта на схеме.
Есть путь по стрелкам от одного к другому — порядок известен, утверждение проверяется.
Пути нет — придумайте расклад цен, где утверждение ложно (контрпример). Нашёлся — утверждение не выбираем.

Не путайте «может быть верно» и «обязательно верно». «Стол дороже принтера» может оказаться правдой, но условие этого не гарантирует.

Следите за формулировкой: «A дешевле B» — то же, что «B дороже A». Переверните фразу, прежде чем искать её на схеме.

Пишите цепочку значком «больше»: П > Д > Пр. Чем «выше» объект в цепочке, тем он дороже (старше, тяжелее).

Задание 9 · Математика (база)

Задание 9 ЕГЭ (база). Площадь фигуры на клетчатом плане

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Участок на плане нарисован по клеточкам, одна клетка — квадрат $1 \times 1$ м. Если участок — прямоугольник, его площадь легко сосчитать по клеткам. Если у него «косые» стороны, удобнее вырезать или достраивать фигуры до прямоугольника.

Площадь одной клетки $1 \times 1$ м — это $1 м^{2}$ . Ответ даётся в квадратных метрах, бывает дробным ( $4, 5$ ). 1 балл.

Способ 1. Описанный прямоугольник

Обводим фигуру прямоугольником по линиям сетки и вычитаем «лишние» куски по углам — прямоугольные треугольники и прямоугольники.

Площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ : $S = \frac{ab}{2}$ .

Прямоугольник

4 \times 3 = 12

; лишние части

3

1, 5

; площадь фигуры

12 - 3 - 1, 5 = 7, 5

Вершины (в клетках): $(1; 1)$ , $(5; 1)$ , $(4; 4)$ , $(2; 3)$ .

Описанный прямоугольник $4 \times 3$ : площадь $12$ .
Справа — треугольник с катетами $1$ и $3$ : $\frac{1 \cdot 3}{2} = 1, 5$ .
Слева сверху — кусок с вершинами $(1; 4)$ , $(1; 1)$ , $(2; 3)$ , $(4; 4)$ . Разрежем его вертикалью по линии $x = 2$ : слева прямоугольник $1 \times 3$ без треугольника с катетами $1$ и $2$ , т. е. $3 - 1 = 2$ ; справа треугольник с катетами $2$ и $1$ , т. е. $1$ . Всего $3$ .
$S = 12 - 1, 5 - 3 = 7, 5 м^{2}$ .

Способ 2. Формула Пика

S = В + \frac{Г}{2} - 1

для многоугольника с вершинами в узлах сетки

где $В$ — число узлов сетки строго внутри фигуры, $Г$ — число узлов на границе (включая вершины).

Для фигуры на рисунке: внутри $В = 5$ узлов, на границе $Г = 7$ (5 на нижней стороне и ещё 2 вершины). $S = 5 + \frac{7}{2} - 1 = 7, 5$ .

Способ 3. Формула Гаусса («шнурок»)

S = \frac{1}{2} i = 1 \sum n (x_{i} y_{i + 1} - x_{i + 1} y_{i})

вершины обходятся по порядку, после последней — снова первая

где $(x_{i}; y_{i})$ — координаты $i$ -й вершины в клетках, $n$ — число вершин.

$(1; 1), (5; 1), (4; 4), (2; 3)$ : слагаемые $1 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = - 4$ ; $5 \cdot 4 - 4 \cdot 1 = 16$ ; $4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = 4$ ; $2 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = - 1$ . Сумма $15$ , $S = \frac{15}{2} = 7, 5$ .

Вершины берут строго по контуру (по или против часовой стрелки), а не вразнобой — иначе формула даст неверный результат.

Для простых фигур — треугольник, трапеция, параллелограмм — быстрее всего считать по обычным формулам, измеряя стороны и высоты в клетках: $S = \frac{a + b}{2} h$ , $S = ah$ , $S = \frac{1}{2} ah$ .

Задание 10 · Математика (база)

Задание 10 ЕГЭ (база). Площадь и периметр участка

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Площадь — сколько места занимает участок (сколько плитки нужно, чтобы его замостить). Периметр — длина его границы (сколько метров забора нужно, чтобы его обнести). Задание 10 — про то, чтобы не перепутать одно с другим и аккуратно учесть дом, проезд, калитку.

S = a \cdot b, P = 2 (a + b)

площадь и периметр прямоугольника

где $a$ и $b$ — длины сторон, м; $S$ — площадь, м²; $P$ — периметр, м. Задание оценивается в 1 балл.

Схема участка

Забор — по всей границе, кроме проезда:

P - 6

Участок без дома

Площадь свободной части = площадь участка − площадь дома (грядки, бассейна…).

Участок $32 \times 39$ м, дом $5 \times 7$ м. Найдите площадь части, не занятой домом.

Участок: $32 \cdot 39 = 1248 м^{2}$ .
Дом: $5 \cdot 7 = 35 м^{2}$ .
Свободно: $1248 - 35 = 1213 м^{2}$ .

Забор с проездом

Участок $50 \times 24$ м, проезд шириной 6 м (на нём забора нет). Найдите длину забора.

Периметр: $P = 2 (50 + 24) = 148$ м.
Вычитаем проезд: $148 - 6 = 142$ м.

Если проездов или калиток несколько — вычитают ширину каждого. Если забор ставят только с трёх сторон — складывают длины этих трёх сторон.

Периметр — это $2 (a + b)$ , а не $a + b$ : сторон у прямоугольника четыре.

Площадь — в квадратных единицах (м²), длина забора — в линейных (м). Если стороны даны в разных единицах (м и см), сначала приведите их к одной.

Перед вычислением нарисуйте схему, как выше: подпишите стороны, отметьте дом и проезд. По рисунку сразу видно, что вычитать.

Единицы площади

1 м^{2} = 100 дм^{2} = 10000 см^{2}, 1 а (сотка) = 100 м^{2}, 1 га = 10000 м^{2}

При переводе единиц площади множитель возводится в квадрат: $1 м = 100 см$ , но $1 м^{2} = 10 0^{2} = 10000 см^{2}$ .

Задание 11 · Математика (база)

Задание 11 ЕГЭ (база). Объём жидкости и тел в сосудах

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Если в стакан с водой опустить камень, уровень поднимется: камень «вытеснит» ровно столько воды, сколько занимает сам. Если перелить воду в широкую кастрюлю, уровень станет ниже — но объём воды останется тем же. На этих двух идеях держатся все задачи задания 11.

V = S \cdot h

объём жидкости в сосуде с постоянным сечением (цилиндр, призма)

где $V$ — объём; $S$ — площадь дна (основания); $h$ — высота уровня жидкости. Для цилиндра $S = π r^{2}$ , где $r$ — радиус основания.

$1 л = 1 дм^{3} = 1000 см^{3}$ . Задание оценивается в 1 балл.

Погружение детали

Объём детали = объём, на который «поднялась» вода: $V_{дет} = S \cdot Δ h$ , где $Δ h$ — на сколько поднялся уровень. Если уровень вырос в $k$ раз, то $V_{дет} = V_{0} (k - 1)$ , где $V_{0}$ — исходный объём воды.

В цилиндрический бак налито 9 л воды. После полного погружения детали уровень вырос в 1,4 раза. Найдите объём детали в см³.

Уровень вырос в 1,4 раза, сечение то же — значит, и объём «вода + деталь» в 1,4 раза больше: $9 \cdot 1, 4 = 12, 6$ л.
Деталь: $12, 6 - 9 = 3, 6$ л (то же: $9 \cdot (1, 4 - 1)$ ).
В см³: $3, 6 \cdot 1000 = 3600$ . Ответ: $3600$ .

Переливание в другой сосуд

Объём не меняется: $S_{1} h_{1} = S_{2} h_{2}$ , откуда $h_{2} = h_{1} \cdot \frac{S _{1}}{S _{2}}$ .

h_{2} = h_{1} \cdot (\frac{r _{1}}{r _{2}})^{2}

для двух цилиндров (π сокращается)

Диаметр больше в 2 раза — площадь дна больше в 4 раза — уровень ниже в 4 раза

Уровень жидкости в цилиндре 51 см. Её перелили в цилиндр с вдвое большим диаметром. Найдите новый уровень.

Радиус больше в 2 раза — площадь дна в $2^{2} = 4$ раза.
$h_{2} = \frac{51}{4} = 12, 75$ см.

Для прямоугольного сосуда (призмы) $S = a \cdot b$ : $h_{2} = h_{1} \cdot \frac{a _{1} b _{1}}{a _{2} b _{2}}$ .

Ловушки

Диаметр больше в $k$ раз — уровень ниже в $k^{2}$ раз, а не в $k$ . Площадь круга зависит от квадрата радиуса.

Единицы ответа: литры или см³? $1 л = 1000 см^{3}$ , $1 м^{3} = 1000 л$ .

Вода «не сжимается и не исчезает»: всегда начинайте с записи «объём до = объём после».

Задание 12 · Математика (база)

Задание 12 ЕГЭ (база). Планиметрия

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Почти каждая задача 12 сводится к одному: найти в чертеже прямоугольный треугольник и применить теорему Пифагора. Задача — увидеть, где спрятан прямой угол: у высоты, у медианы равнобедренного треугольника, у угла, опирающегося на диаметр.

c^{2} = a^{2} + b^{2}

теорема Пифагора

где $c$ — гипотенуза (сторона против прямого угла), $a$ , $b$ — катеты. Задание оценивается в 1 балл.

Медиана равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике ( $A B = BC$ ) медиана $BM$ , проведённая к основанию $A C$ , является также высотой и биссектрисой. Значит, $∠ BM A = 9 0^{\circ}$ , $A M = \frac{A C}{2}$ и $B M^{2} = A B^{2} - A M^{2}$ .

Слева:

BM ⊥ A C

. Справа:

A B

— диаметр, поэтому

∠ A CB = 9 0^{\circ}

$A B = BC = 582$ , $A C = 780$ . Найдите медиану $BM$ .

$A M = 780 : 2 = 390$ .
$B M^{2} = 58 2^{2} - 39 0^{2} = (582 - 390) (582 + 390) = 192 \cdot 972 = 186624$ .
$BM = 186624 = 432$ .

Угол, опирающийся на диаметр

Если $A B$ — диаметр окружности, а $C$ — любая другая точка окружности, то $∠ A CB = 9 0^{\circ}$ . Треугольник $A BC$ прямоугольный с гипотенузой $A B$ .

$A B = 565$ — диаметр, $A C = 75$ . Найдите хорду $BC$ .

$B C^{2} = A B^{2} - A C^{2} = (565 - 75) (565 + 75) = 490 \cdot 640 = 313600$ .
$BC = 560$ .

Разность квадратов: $c^{2} - a^{2} = (c - a) (c + a)$ . Большие числа так перемножать гораздо легче, а корень часто «виден» сразу.

Ещё нужные факты

Пифагоровы тройки

3, 4, 5

;

5, 12, 13

;

8, 15, 17

;

7, 24, 25

и кратные:

6, 8, 10

;

9, 12, 15

…

Тригонометрия

cos A = \frac{прилежащий катет}{гипотенуза}

sin A = \frac{противолежащий}{гипотенуза}

tg A = \frac{противолежащий}{прилежащий}

Площадь треугольника

S = \frac{1}{2} ah

(

h

— высота к стороне

a

); в прямоугольном

S = \frac{1}{2} ab

(катеты)

Медиана к гипотенузеравна половине гипотенузы (это радиус описанной окружности)

Гипотенуза — всегда самая длинная сторона. Если ищете катет, вычитайте квадраты: $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ , а не складывайте.

Медиана является высотой только в равнобедренном треугольнике и только та, что проведена к основанию.

Задание 13 · Математика (база)

Задание 13 ЕГЭ (база). Стереометрия

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Объём — сколько воды поместится внутрь тела. Площадь поверхности — сколько бумаги нужно, чтобы его обклеить. В задании 13 даны размеры тела; нужно выбрать верную формулу, а иногда сначала достроить недостающий размер по теореме Пифагора. 1 балл.

Формулы

Тело	Объём	Поверхность
Прямоугольный параллелепипед	$V = ab c$	$S = 2 (ab + b c + a c)$
Куб	$V = a^{3}$	$S = 6 a^{2}$
Призма	$V = S_{осн} \cdot h$	$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
Пирамида	$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$	сумма площадей граней
Цилиндр	$V = π r^{2} h$	$S_{бок} = 2 π r h$
Конус	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$	$S_{бок} = π r l$
Шар	$V = \frac{4}{3} π R^{3}$	$S = 4 π R^{2}$

Обозначения: $a, b, c$ — рёбра; $h$ — высота; $r$ — радиус основания; $l$ — образующая конуса ( $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ ); $R$ — радиус шара; $S_{осн}$ — площадь основания; $P_{осн}$ — периметр основания. Для пирамиды с квадратным основанием: $V = \frac{1}{3} a^{2} h$ .

Параллелепипед и диагональ грани

Грань

BC C_{1} B_{1}

— прямоугольник, поэтому

B C_{1}^{2} = B C^{2} + C C_{1}^{2}

$BC = 3$ , $B A = 7$ , диагональ грани $B C_{1} = 5$ . Найдите объём.

$C C_{1} = 5^{2} - 3^{2} = 16 = 4$ .
$V = B A \cdot BC \cdot C C_{1} = 7 \cdot 3 \cdot 4 = 84$ .

Диагональ всего параллелепипеда: $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Сравнение тел: считаем отношение

У первого конуса радиус основания и образующая равны 6 и 4, у второго — 3 и 5. Во сколько раз боковая поверхность второго больше, чем первого?

$S_{1} = π \cdot 6 \cdot 4 = 24 π$ , $S_{2} = π \cdot 3 \cdot 5 = 15 π$ .
$\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{15 π}{24 π} = 0, 625$ . Число $π$ сократилось.

Если все размеры тела увеличить в $k$ раз, площадь поверхности увеличится в $k^{2}$ раз, объём — в $k^{3}$ раз.

У конуса и пирамиды в формуле объёма есть $\frac{1}{3}$ — её часто забывают. У цилиндра и призмы — нет.

Образующая конуса $l$ и высота $h$ — разные отрезки: $l$ идёт по боковой поверхности, $h$ — внутри, перпендикулярно основанию.

«Во сколько раз больше» — делите второе на первое. Ответ меньше 1 ( $0, 625$ ) значит, что на самом деле второе меньше, — так бывает, это не ошибка.

Задание 14 · Математика (база)

Задание 14 ЕГЭ (база). Значение числового выражения

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Выражение — как инструкция по сборке: важно не только что делать, но и в каком порядке. $2 + 3 \cdot 4$ — это $14$ , а не $20$ , потому что умножение «сильнее» сложения. Задание 14 проверяет порядок действий и аккуратный счёт с дробями. 1 балл.

1) действия в скобках; 2) степени; 3) умножение и деление — слева направо; 4) сложение и вычитание — слева направо. Знак «:» означает деление, черта дроби — тоже деление (и работает как скобки).

Дерево выражения

Считаем снизу вверх: сначала

4, 0 \cdot 8, 2 = 32, 8

, затем

32, 8 + 2, 2 = 35

Обыкновенные дроби

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}, \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}, \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Здесь $a, c$ — числители, $b, d$ — знаменатели ( $b, d \neq = 0$ ). Делить на дробь — значит умножать на перевёрнутую дробь.

$\frac{4}{10} + \frac{10}{12} : \frac{10}{6}$

Сначала деление: $\frac{10}{12} : \frac{10}{6} = \frac{10}{12} \cdot \frac{6}{10} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ .
Потом сложение: $\frac{4}{10} + \frac{1}{2} = 0, 4 + 0, 5 = 0, 9$ .
Ответ: $0, 9$ .

$2 \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3}$ : переводим $2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ ; $\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{9 \cdot 8}{4 \cdot 3} = \frac{72}{12} = 6$ .

Десятичные дроби

Сложениезапятая под запятой:

3, 75 + 1, 5 = 5, 25

Умножениеумножаем как целые, затем отделяем столько знаков, сколько их всего у множителей:

0, 3 \cdot 0, 04 = 0, 012

Делениепереносим запятую в обоих числах, чтобы делитель стал целым:

1, 2 : 0, 04 = 120 : 4 = 30

Удобные пары: $\frac{1}{2} = 0, 5$ , $\frac{1}{4} = 0, 25$ , $\frac{3}{4} = 0, 75$ , $\frac{1}{5} = 0, 2$ , $\frac{1}{8} = 0, 125$ . Если в выражении смешаны дроби разных видов, переведите всё в один вид.

Ловушки

Не считайте «слева направо подряд»: в $\frac{4}{10} + \frac{10}{12} : \frac{10}{6}$ сначала деление, а не сложение.

Ответ на ЕГЭ — целое число или конечная десятичная дробь. Получилось $\frac{1}{3}$ или $0, 333 \dots$ — ищите ошибку в вычислениях.

Перед умножением дробей сокращайте крест-накрест: $\frac{10}{12} \cdot \frac{6}{10}$ — десятки сокращаются сразу.

Задание 15 · Математика (база)

Задание 15 ЕГЭ (база). Проценты

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Процент — это сотая часть: $1% = \frac{1}{100} = 0, 01$ . Скидка 10% на билет за 280 ₽ — значит, не платим десятую часть цены: $28$ ₽, и билет стоит $252$ ₽. Задание 15 — про такие расчёты. 1 балл.

p % от A = A \cdot \frac{p}{100}

найти процент от числа

где $A$ — исходная величина (за 100%), $p$ — число процентов.

Увеличить и уменьшить на p%

A_{нов} = A \cdot \frac{100 + p}{100} A_{нов} = A \cdot \frac{100 - p}{100}

увеличение на p% и уменьшение на p%

Повышение на 20% — умножить на

1, 2

; скидка 10% — умножить на

0, 9

Плата за телефон 200 ₽ в месяц увеличится на 20%. Какой она станет?

$200 \cdot \frac{100 + 20}{100} = 200 \cdot 1, 2 = 240$ ₽.

Билет стоит 280 ₽, школьникам скидка 10%. Сколько стоит билет для школьника?

$280 \cdot \frac{100 - 10}{100} = 280 \cdot 0, 9 = 252$ ₽.

Другие типы

Сколько процентов $B$ от $A$

\frac{B}{A} \cdot 100%

. Например, 30 от 120:

\frac{30}{120} \cdot 100 = 25%

Найти целое по частиесли

p %

числа равны

B

, то число

= \frac{B \cdot 100}{p}

На сколько процентов изменилось

\frac{A _{нов} - A}{A} \cdot 100%

— делим всегда на старое значение

Прибыль 900 тыс. ₽ делят между двумя партнёрами в отношении $4 : 5$ . Сколько получит второй?

Всего частей: $4 + 5 = 9$ ; одна часть: $900 : 9 = 100$ тыс. ₽.
Второй: $5 \cdot 100 = 500$ тыс. ₽.

Ловушки

Повысить на 10%, а потом снизить на 10% — не вернуться к исходному: $100 \cdot 1, 1 \cdot 0, 9 = 99$ . Каждый процент берётся от текущего значения.

Читайте, что спрашивают: новую цену или размер скидки? $10%$ от 280 — это 28 ₽ скидки, а цена — 252 ₽.

Запомните множители: $+ p % \to \times (1 + 0, 01 p)$ , $- p % \to \times (1 - 0, 01 p)$ . $+ 15% \to \times 1, 15$ ; $- 30% \to \times 0, 7$ .

Задание 16 · Математика (база)

Задание 16 ЕГЭ (база). Выражения с корнями и тригонометрией

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

$20$ — «некрасивое» число, но $20 \cdot 20$ — это просто $20$ . В задании 16 выражения устроены так, что «некрасивые» части сокращаются, если знать несколько свойств корней и табличные значения синуса и косинуса. 1 балл.

Квадратный корень $a$ из числа $a \geq 0$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ : $49 = 7$ , так как $7^{2} = 49$ и $7 \geq 0$ .

Свойства корней

Свойство	Пример
$a \cdot b = ab$	$2 \cdot 18 = 36 = 6$
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$	$\frac{75}{3} = 25 = 5$
$(a)^{2} = a$	$20 \cdot 20 = 20$
$a^{2} = ∣ a ∣$	$(- 5)^{2} = 5$
$a^{2} b = ∣ a ∣ b$	$50 = 52$

Здесь $a, b \geq 0$ (в последних двух строках — любое $a$ ), $b \neq = 0$ в дроби.

(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}

разность квадратов — убирает корни

$(7 - 1) (7 + 1)$

Это разность квадратов: $(7)^{2} - 1^{2}$ .
$= 7 - 1 = 6$ .

$a + b \neq = a + b$ : $9 + 16 = 5$ , а $9 + 16 = 7$ .

Табличные значения

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$
$tg α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	—	$0$

Точка угла

α

на окружности радиуса 1 имеет координаты

(cos α; sin α)

: для

3 0^{\circ}

—

(\frac{3}{2}; \frac{1}{2})

$9 \cdot sin 0^{\circ} = 9 \cdot 0 = 0$ . $43 \cdot cos 3 0^{\circ} = 43 \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ .

Большие углы

Синус и косинус повторяются через $36 0^{\circ}$ : $sin (α + 36 0^{\circ}) = sin α$ . Если угол больше $36 0^{\circ}$ , вычтите $36 0^{\circ}$ (столько раз, сколько нужно).

$sin 39 0^{\circ} = sin (39 0^{\circ} - 36 0^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ . Формулы приведения: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ , поэтому $sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .

Синусы $0^{\circ}, 3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ : $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ . Косинусы — те же числа в обратном порядке.

Задание 17 · Математика (база)

Задание 17 ЕГЭ (база). Простейшие уравнения

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Решить уравнение — найти число, которое делает равенство верным. В задании 17 уравнения разных видов, но каждое сводится к простому линейному или квадратному: нужно лишь «снять» степень, логарифм или корень. В ответ — один корень (если корней два, в условии сказано, какой записать). 1 балл.

Показательные уравнения

Если $a^{f (x)} = a^{g (x)}$ , где $a > 0$ , $a \neq = 1$ , то $f (x) = g (x)$ . Сначала приводим обе части к одному основанию.

2^{t} = 4

ровно при

t = 2

: функция

y = 2^{t}

возрастает, поэтому корень один

$2^{10 - x} = 4$

$4 = 2^{2}$ , значит $2^{10 - x} = 2^{2}$ .
Показатели равны: $10 - x = 2$ , $x = 8$ .

$(\frac{1}{3})^{x - 5} = 9$ : $\frac{1}{3} = 3^{- 1}$ , $9 = 3^{2}$ , тогда $3^{- (x - 5)} = 3^{2}$ , $- x + 5 = 2$ , $x = 3$ .

Логарифмические уравнения

Логарифм $lo g_{a} b$ — показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ : $lo g_{2} 8 = 3$ , так как $2^{3} = 8$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ ).

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x y), lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} \frac{x}{y}

Если $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ , то $f (x) = g (x)$ , причём выражения под логарифмом должны быть положительны. А $lo g_{a} f (x) = c$ означает $f (x) = a^{c}$ .

$lo g_{4} (3 x + 22) - lo g_{4} 5 = lo g_{4} 8$

Слева разность логарифмов: $lo g_{4} \frac{3 x + 22}{5} = lo g_{4} 8$ .
$\frac{3 x + 22}{5} = 8$ , $3 x + 22 = 40$ , $x = 6$ .
Проверка: $3 \cdot 6 + 22 = 40 > 0$ ✓. Ответ: $6$ .

$lo g_{3} (x - 4) = 2$ : $x - 4 = 3^{2} = 9$ , $x = 13$ .

Квадратные и иррациональные

a x^{2} + b x + c = 0 : D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

корни квадратного уравнения

$a, b, c$ — коэффициенты ( $a \neq = 0$ ), $D$ — дискриминант: при $D > 0$ два корня, при $D = 0$ один, при $D < 0$ корней нет. Для $x^{2} + p x + q = 0$ по теореме Виета $x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} x_{2} = q$ .

$x^{2} - 7 x + 10 = 0$ : сумма корней $7$ , произведение $10$ — это $2$ и $5$ . Если просят меньший корень — ответ $2$ .

$2 x + 7 = 5$

Возводим в квадрат: $2 x + 7 = 25$ , $x = 9$ .
Проверка: $25 = 5$ ✓.

После возведения в квадрат могут появиться «лишние» корни. В $x + 2 = x$ получаем $x^{2} - x - 2 = 0$ , корни $2$ и $- 1$ ; но при $x = - 1$ : $1 = 1 \neq = - 1$ . Подходит только $2$ .

Любой найденный корень подставьте в исходное уравнение — это занимает полминуты и спасает от потери балла.

Задание 18 · Математика (база)

Задание 18 ЕГЭ (база). Числа на прямой и решения неравенств

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Задание 18 бывает двух видов. В первом нужно понять, какое из чисел вроде $26$ , $lo g_{2} 30$ , $\frac{16}{3}$ больше, — то есть расставить их по местам на числовой прямой. Во втором — решить четыре неравенства и найти для каждого его промежуток среди ответов. Ответ — 4 цифры по порядку А, Б, В, Г. 1 балл.

Оценка чисел

Каждое число зажимаем между двумя «удобными»: $25 < 26 < 36$ , то есть $5 < 26 < 6$ ; $lo g_{2} 16 < lo g_{2} 30 < lo g_{2} 32$ , то есть $4 < lo g_{2} 30 < 5$ .

Расположите по возрастанию: А) $26$ ; Б) $lo g_{2} 30$ ; В) $\frac{16}{3}$ ; Г) $5$ . Каждой букве поставьте номер места (1 — наименьшее).

$lo g_{2} 30 < lo g_{2} 32 = 5$ — меньше 5.
$26 > 25 = 5$ , но $5, 1^{2} = 26, 01 > 26$ , значит $26 < 5, 1$ .
$\frac{16}{3} = 5, 33 \dots$
Порядок: $lo g_{2} 30 < 5 < 26 < \frac{16}{3}$ . Места: А — 3, Б — 1, В — 4, Г — 2. Ответ: 3142.

lo g_{2} 30 \approx 4, 91

;

26 \approx 5, 10

;

\frac{16}{3} \approx 5, 33

Полезные опоры: $2 \approx 1, 41$ , $3 \approx 1, 73$ , $π \approx 3, 14$ ; степени двойки $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$ — для оценки $lo g_{2}$ .

Простейшие неравенства

Вид	Как решать	Пример
Показательное, $a > 1$	знак сохраняется	$2^{x} \geq 4 ⟺ x \geq 2$
Показательное, $0 < a < 1$	знак меняется	$0, 5^{x} \geq 4 ⟺ x \leq - 2$
Логарифмическое	учесть $x > 0$ ; при $a > 1$ знак сохраняется	$lo g_{2} x \leq 1 ⟺ 0 < x \leq 2$
Квадратное	корни + знаки (метод интервалов)	$x^{2} \leq 4 ⟺ - 2 \leq x \leq 2$

А) $2^{x} \geq 4$ ; Б) $0, 5^{x} \geq 4$ ; В) $lo g_{2} x \leq 1$ ; Г) $x^{2} \leq 4$ . Решения: 1) $[- 2; 2]$ ; 2) $(0; 2]$ ; 3) $[2; + \infty)$ ; 4) $(- \infty; - 2]$ .

А: $x \geq 2$ — 3. Б: $2^{- x} \geq 2^{2}$ , $x \leq - 2$ — 4.
В: $x \leq 2$ и $x > 0$ — 2. Г: $∣ x ∣ \leq 2$ — 1.
Ответ: 3421.

Метод интервалов

Для неравенств вида $(x - a) (x - b) > 0$ или $\frac{x - a}{x - b} \leq 0$ : отмечаем нули числителя и знаменателя, определяем знак на каждом промежутке.

(x + 3) (x - 2) < 0

при

- 3 < x < 2

;

> 0

при

x < - 3

или

x > 2

Нуль знаменателя всегда «выколот» (круглая скобка), даже если неравенство нестрогое: в $\frac{x - 1}{x + 3} \leq 0$ ответ $(- 3; 1]$ .

При основании меньше 1 ( $0, 5^{x}$ , $lo g_{0, 5} x$ ) знак неравенства меняется на противоположный.

Проверяйте подстановкой: возьмите число из найденного промежутка и одно снаружи — неравенство должно выполняться только для первого.

Задание 19 · Математика (база)

Задание 19 ЕГЭ (база). Числа с заданными свойствами

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Это задача-головоломка: нужно придумать число, у которого «всё сходится» — нужные цифры, нужная делимость. Угадывать не надо: признаки делимости сразу говорят, какой должна быть последняя цифра или сумма цифр, и перебор становится коротким. Часто подходит несколько чисел — тогда можно записать любое. 1 балл.

Признаки делимости

Делится на	Условие
2	последняя цифра чётная
3 / 9	сумма цифр делится на 3 / на 9
4	число из двух последних цифр делится на 4
5	последняя цифра 0 или 5
8	число из трёх последних цифр делится на 8
10	последняя цифра 0
11	суммы цифр на чётных и на нечётных местах отличаются на число, кратное 11
25	оканчивается на 00, 25, 50, 75

Делимость на составное число проверяют по взаимно простым множителям: $6 = 2 \cdot 3$ , $12 = 3 \cdot 4$ , $15 = 3 \cdot 5$ , $18 = 2 \cdot 9$ , $30 = 3 \cdot 10$ , $36 = 4 \cdot 9$ . Нельзя брать $12 = 2 \cdot 6$ : множители 2 и 6 не взаимно просты.

Как строить число

Начните с самого сильного условия: последняя цифра (делимость на 2, 5, 10), две последние (на 4, 25).
Затем — сумма цифр (на 3, 9).
Остальные места заполните, проверяя оставшиеся условия (цифры различны, первая цифра не 0, число больше/меньше заданного).

Кратно

30 = 3 \cdot 10

: последняя цифра 0, сумма цифр делится на 3

Найдите четырёхзначное число, кратное 30, все цифры которого различны и чётны.

Кратно 10 — последняя цифра $0$ .
Остальные три — различные из ${2, 4, 6, 8}$ , и их сумма делится на 3: подходят $2 + 4 + 6 = 12$ и $4 + 6 + 8 = 18$ .
Например, 4260 (или 2460, 8640…).

Число $A$ составлено из цифр 1, 4, 5, 5, а $B = 3 A$ — из цифр 3, 4, 5, 6. Найдите $A$ .

$B$ четырёхзначное, значит $A < 3334$ : первая цифра $A$ — это $1$ .
Кандидаты: $1455$ , $1545$ , $1554$ . Проверяем: $3 \cdot 1455 = 4365$ ✓; $3 \cdot 1545 = 4635$ ✓; $3 \cdot 1554 = 4662$ ✗.
Подходят два числа; дополнительное условие задачи (например, « $A$ меньше 1500») оставляет одно: 1455.

Вычеркните из числа 316152 три цифры так, чтобы оставшееся число делилось на 12.

$12 = 3 \cdot 4$ : две последние цифры образуют число, кратное 4, и сумма цифр кратна 3.
Пробуем окончание «12» (цифры 1 и 2 стоят в нужном порядке) и первую цифру 3: число $312$ , сумма $6$ ⋮ 3, $12$ ⋮ 4 ✓.

Проверьте все условия у готового числа ещё раз: различны ли цифры, не начинается ли число с нуля, нужное ли число цифр.

Делимость на 2, 4, 5, 8, 10, 25 определяет «хвост» числа, на 3 и 9 — сумма цифр. Хвост выбирайте первым.

Задание 20 · Математика (база)

Задание 20 ЕГЭ (база). Текстовые задачи

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Текстовая задача — житейская история, которую нужно перевести на язык формул. Почти всегда работает одна схема: «результат = скорость × время» (путь, работа, количество вещества). Остаётся понять, что известно, и составить уравнение. 1 балл.

s = v \cdot t

путь = скорость × время

где $s$ — путь, км; $v$ — скорость, км/ч; $t$ — время, ч.

Движение

Навстречускорость сближения

v_{1} + v_{2}

Вдогонкускорость сближения

v_{1} - v_{2}

(

v_{1} > v_{2}

)

По рекепо течению

v + u

, против течения

v - u

(

u

— скорость течения)

Весь путь 196 км; автомобиль из A проехал

196 - 92 = 104

км

Расстояние между A и B 196 км. Два автомобиля выехали навстречу и встретились через 4 ч в 92 км от B. Найдите скорость автомобиля из A.

Путь автомобиля из A: $196 - 92 = 104$ км.
$v = \frac{s}{t} = \frac{104}{4} = 26$ км/ч.

$v_{ср} = \frac{весь путь}{всё время}$ — не среднее арифметическое скоростей.

60 км со скоростью 30 км/ч (2 ч) и 60 км со скоростью 60 км/ч (1 ч): $v_{ср} = \frac{120}{3} = 40$ км/ч, а не $45$ .

Смеси и растворы

m_{в - ва} = c \cdot m_{р - ра}

масса растворённого вещества

где $c$ — концентрация (доля: $30% = 0, 3$ ), $m_{р - ра}$ — масса всего раствора. При смешивании масса вещества складывается; вода добавляет массу раствора, но не вещества.

Смешали 6 кг 30%-го раствора соли и 6 кг воды. Найдите концентрацию.

Соли: $0, 3 \cdot 6 = 1, 8$ кг (в воде соли нет).
Раствора: $6 + 6 = 12$ кг.
$c = \frac{1 , 8}{12} = 0, 15 = 15%$ .

Совместная работа

Если работник делает всю работу за $t$ часов, его производительность — $\frac{1}{t}$ работы в час. Производительности при совместной работе складываются.

Одна труба наполняет бассейн за 6 ч, другая — за 3 ч. Вместе: $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ бассейна в час, значит, весь бассейн — за $2$ ч.

Следите за единицами: минуты переводите в часы ( $30$ мин $= 0, 5$ ч), метры — в километры. Ответ — в тех единицах, которые просит условие.

Сделайте таблицу «скорость | время | путь» (или «концентрация | масса раствора | масса вещества») — одна строка на участника. Уравнение обычно видно прямо из неё.

Задание 21 · Математика (база)

Задание 21 ЕГЭ (база). Задачи на смекалку

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Последнее задание базового ЕГЭ — головоломка без единого шаблона. Но у большинства таких задач есть «ключ»: одно уравнение, одна закономерность или аккуратный перебор. Главное — не пытаться угадать ответ, а перевести условие на язык чисел. 1 балл.

Если просят «найдите любое подходящее число» или пример, — достаточно предъявить один вариант, удовлетворяющий всем условиям.

Задачи на очки: одно уравнение

В тесте 17 вопросов. За верный ответ +4 балла, за неверный −14. Ученик ответил на все вопросы и набрал −4 балла. Сколько верных ответов?

Пусть верных $x$ , тогда неверных $17 - x$ .
$4 x - 14 (17 - x) = - 4$ .
$4 x - 238 + 14 x = - 4$ , $18 x = 234$ , $x = 13$ .
Проверка: $4 \cdot 13 - 14 \cdot 4 = 52 - 56 = - 4$ ✓.

Прямоугольник, разрезанный на четыре части

Периметры частей:

2 (a + c)

2 (b + c)

2 (a + d)

2 (b + d)

Суммы периметров «накрест лежащих» частей равны: $P_{лв} + P_{пн} = P_{пв} + P_{лн}$ , и каждая такая сумма равна периметру всего прямоугольника $2 (a + b + c + d)$ .

Периметры: левый верхний 36, правый верхний 34, левый нижний 28. Найдите периметр правого нижнего и всего прямоугольника.

$P_{пн} = 34 + 28 - 36 = 26$ .
Весь прямоугольник: $36 + 26 = 62$ (то же $34 + 28$ ).

Процессы по шагам и перебор

Улитка за день поднимается по дереву на 4 м, за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. В какой день улитка впервые окажется на вершине?

За полные сутки — подъём на $4 - 3 = 1$ м.
В последний день ночного спуска уже не будет: нужно стартовать утром с высоты $10 - 4 = 6$ м.
6 м набирается за 6 суток; на 7-й день улитка доползёт до вершины. Ответ: $7$ .

Ошибка « $10 : 1 = 10$ дней» — не учтено, что в последний день улитка поднимается сразу на 4 м и дальше не сползает.

Не видно идеи — переберите несколько первых шагов вручную (таблица «шаг → результат»): закономерность обычно видна после 3–4 строк. И обязательно проверьте ответ по условию.

Кольцевая дорога и делимость

Кольцевая дорога 333 км, по кратчайшей дуге: А–Б 110 км, А–В 144 км, В–Г 23 км. Найдите кратчайшее расстояние Б–Г.

Расставим точки на окружности по часовой стрелке от А: Б на 110 км, В на 144 км (или на $333 - 144 = 189$ ). Кратчайшая дуга А–В — меньшая из двух дуг, она не длиннее половины кольца ( $166, 5$ ).
Перебираем расположения В и Г ( $\pm 23$ км от В) и для каждого считаем расстояние Б–Г: по кольцу между двумя точками две дуги, $d$ и $333 - d$ , берём меньшую.
Подходит вариант, согласованный со всеми условиями; рисунок кольца с отметками обязателен.

Вычеркнуть цифры, чтобы число делилось на 45: $45 = 5 \cdot 9$ , поэтому число должно оканчиваться на 0 или 5, а сумма его цифр — делиться на 9. Сначала оставляем подходящую последнюю цифру, затем вычёркиваем цифры так, чтобы сумма стала кратна 9.

Математика (база): теория

Оглавление

ЕГЭ база, задание 1: практические расчёты

Простыми словами

Вверх или вниз?

Разбор типовых задач

Задание 2 ЕГЭ (база). Величины и их значения

Простыми словами

Шкала масштабов

Опорные значения

Как решать

Задание 3 ЕГЭ (база). Чтение диаграммы

Простыми словами

Как читать столбчатую диаграмму

Как читать линейный график

Ловушки

Посмотреть на модели

Задание 4 ЕГЭ (база). Вычисление по формуле

Простыми словами

Тип 1: подставить и вычислить

Тип 2: найти величину из правой части

Ловушки

Задание 5 ЕГЭ (база). Классическая вероятность

Простыми словами

Противоположное событие

Другие типичные сюжеты

Ловушки

Посмотреть на модели

Задание 6 ЕГЭ (база). Выбор выгодного варианта

Простыми словами

Покупка с доставкой

Аренда и топливо

Ловушки

Задание 7 ЕГЭ (база). Характер изменения величины по графику

Простыми словами

Как сравнивать интервалы

Разбор

Ловушки

Задание 8 ЕГЭ (база). Логика: какие утверждения верны

Простыми словами

Цепочки сравнений

Как проверить утверждение

Задание 9 ЕГЭ (база). Площадь фигуры на клетчатом плане

Простыми словами

Способ 1. Описанный прямоугольник

Способ 2. Формула Пика

Способ 3. Формула Гаусса («шнурок»)

Задание 10 ЕГЭ (база). Площадь и периметр участка

Простыми словами

Схема участка

Участок без дома

Забор с проездом

Единицы площади

Задание 11 ЕГЭ (база). Объём жидкости и тел в сосудах

Простыми словами

Погружение детали

Переливание в другой сосуд

Ловушки

Задание 12 ЕГЭ (база). Планиметрия

Простыми словами

Медиана равнобедренного треугольника

Угол, опирающийся на диаметр

Ещё нужные факты

Задание 13 ЕГЭ (база). Стереометрия

Простыми словами

Формулы

Параллелепипед и диагональ грани

Сравнение тел: считаем отношение

Задание 14 ЕГЭ (база). Значение числового выражения

Простыми словами

Дерево выражения

Обыкновенные дроби

Десятичные дроби

Ловушки

Задание 15 ЕГЭ (база). Проценты

Простыми словами

Увеличить и уменьшить на p%

Другие типы

Ловушки

Задание 16 ЕГЭ (база). Выражения с корнями и тригонометрией