Задание 20. Текстовая задача — Математика (база), 11 класс

Движение, смеси и средние величины в текстовых задачах. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Текстовая задача — житейская история, которую нужно перевести на язык формул. Почти всегда работает одна схема: «результат = скорость × время» (путь, работа, количество вещества). Остаётся понять, что известно, и составить уравнение. 1 балл.

s = v \cdot t

путь = скорость × время

где $s$ — путь, км; $v$ — скорость, км/ч; $t$ — время, ч.

Движение

Навстречускорость сближения

v_{1} + v_{2}

Вдогонкускорость сближения

v_{1} - v_{2}

(

v_{1} > v_{2}

)

По рекепо течению

v + u

, против течения

v - u

(

u

— скорость течения)

Весь путь 196 км; автомобиль из A проехал

196 - 92 = 104

км

Расстояние между A и B 196 км. Два автомобиля выехали навстречу и встретились через 4 ч в 92 км от B. Найдите скорость автомобиля из A.

Путь автомобиля из A: $196 - 92 = 104$ км.
$v = \frac{s}{t} = \frac{104}{4} = 26$ км/ч.

$v_{ср} = \frac{весь путь}{всё время}$ — не среднее арифметическое скоростей.

60 км со скоростью 30 км/ч (2 ч) и 60 км со скоростью 60 км/ч (1 ч): $v_{ср} = \frac{120}{3} = 40$ км/ч, а не $45$ .

Смеси и растворы

m_{в - ва} = c \cdot m_{р - ра}

масса растворённого вещества

где $c$ — концентрация (доля: $30% = 0, 3$ ), $m_{р - ра}$ — масса всего раствора. При смешивании масса вещества складывается; вода добавляет массу раствора, но не вещества.

Смешали 6 кг 30%-го раствора соли и 6 кг воды. Найдите концентрацию.

Соли: $0, 3 \cdot 6 = 1, 8$ кг (в воде соли нет).
Раствора: $6 + 6 = 12$ кг.
$c = \frac{1 , 8}{12} = 0, 15 = 15%$ .

Совместная работа

Если работник делает всю работу за $t$ часов, его производительность — $\frac{1}{t}$ работы в час. Производительности при совместной работе складываются.

Одна труба наполняет бассейн за 6 ч, другая — за 3 ч. Вместе: $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ бассейна в час, значит, весь бассейн — за $2$ ч.

Следите за единицами: минуты переводите в часы ( $30$ мин $= 0, 5$ ч), метры — в километры. Ответ — в тех единицах, которые просит условие.

Сделайте таблицу «скорость | время | путь» (или «концентрация | масса раствора | масса вещества») — одна строка на участника. Уравнение обычно видно прямо из неё.

Посмотреть и посчитать

Модели

Задачи на движение

Примеры заданий 20 ЕГЭ по математике (база)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Из городов A и B, расстояние между которыми 196 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 4 часа на расстоянии 92 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A (в кмч).

Показать ответ

Ответ: 26
Решение. Автомобиль из A проехал до встречи 196 − 92 = 104 км за 4 ч, значит его скорость 104:4 = 26 кмч (для проверки: автомобиль из B проехал 92:4 = 23 кмч).

Смешали 6 кг раствора с концентрацией соли 30% и 6 кг чистой воды. Найдите концентрацию соли в получившемся растворе (в процентах).

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. Масса соли: 6×30% = 95 кг. Новая масса раствора: 6+6 = 12 кг. Новая концентрация: 95·10012 = 15%.

Первые 180 км автомобиль ехал со скоростью 60 кмч, следующие 150 км — со скоростью 50 кмч, а затем 80 км — со скоростью 40 кмч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути (в кмч).

Показать ответ

Ответ: 51.25
Решение. Время на участках: 180:60=3 ч, 150:50=3 ч, 80:40=2 ч. Всего путь 180+150+80=410 км за 3+3+2=8 ч. Средняя скорость: 410:8 = 51.25 кмч.

Из городов A и B, расстояние между которыми 375 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 5 часов на расстоянии 190 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A (в кмч).

Показать ответ

Ответ: 37
Решение. Автомобиль из A проехал до встречи 375 − 190 = 185 км за 5 ч, значит его скорость 185:5 = 37 кмч (для проверки: автомобиль из B проехал 190:5 = 38 кмч).