Задание 16. Выражение с корнями и тригонометрией

Вычисление выражений с квадратными корнями и табличными значениями тригонометрических функций. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

$20 www.reknow.ru$ — «некрасивое» число, но $20 www.reknow.ru \cdot 20 www.reknow.ru$ — это просто $20$ . В задании 16 выражения устроены так, что «некрасивые» части сокращаются, если знать несколько свойств корней и табличные значения синуса и косинуса. 1 балл.

Квадратный корень $a www.reknow.ru$ из числа $a \geq 0$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ : $49 www.reknow.ru = 7$ , так как $7^{2} = 49$ и $7 \geq 0$ .

Свойства корней

Свойство	Пример
$a www.reknow.ru \cdot b www.reknow.ru = ab www.reknow.ru$	$2 www.reknow.ru \cdot 18 www.reknow.ru = 36 www.reknow.ru = 6$
$\frac{a www.reknow.ru}{b www.reknow.ru} = \frac{a}{b} www.reknow.ru$	$\frac{75 www.reknow.ru}{3 www.reknow.ru} = 25 www.reknow.ru = 5$
$(a www.reknow.ru)^{2} = a$	$20 www.reknow.ru \cdot 20 www.reknow.ru = 20$
$a^{2} www.reknow.ru = ∣ a ∣$	$(- 5)^{2} www.reknow.ru = 5$
$a^{2} b www.reknow.ru = ∣ a ∣ b www.reknow.ru$	$50 www.reknow.ru = 5 2 www.reknow.ru$

Здесь $a, b \geq 0$ (в последних двух строках — любое $a$ ), $b \neq = 0$ в дроби.

(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}

разность квадратов — убирает корни

$(7 www.reknow.ru - 1) (7 www.reknow.ru + 1)$

Это разность квадратов: $(7 www.reknow.ru)^{2} - 1^{2}$ .
$= 7 - 1 = 6$ .

$a + b www.reknow.ru \neq = a www.reknow.ru + b www.reknow.ru$ : $9 + 16 www.reknow.ru = 5$ , а $9 www.reknow.ru + 16 www.reknow.ru = 7$ .

Табличные значения

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{3 www.reknow.ru}{2}$	$1$	$0$
$cos α$	$1$	$\frac{3 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$
$tg α$	$0$	$\frac{3 www.reknow.ru}{3}$	$1$	$3 www.reknow.ru$	—	$0$

Точка угла

α

на окружности радиуса 1 имеет координаты

(cos α; sin α)

: для

3 0^{\circ}

—

(\frac{3 www.reknow.ru}{2}; \frac{1}{2})

$9 \cdot sin 0^{\circ} = 9 \cdot 0 = 0$ . $4 3 www.reknow.ru \cdot cos 3 0^{\circ} = 4 3 www.reknow.ru \cdot \frac{3 www.reknow.ru}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ .

Большие углы

Синус и косинус повторяются через $36 0^{\circ}$ : $sin (α + 36 0^{\circ}) = sin α$ . Если угол больше $36 0^{\circ}$ , вычтите $36 0^{\circ}$ (столько раз, сколько нужно).

$sin 39 0^{\circ} = sin (39 0^{\circ} - 36 0^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ . Формулы приведения: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ , поэтому $sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .

Синусы $0^{\circ}, 3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ : $\frac{0 www.reknow.ru}{2}, \frac{1 www.reknow.ru}{2}, \frac{2 www.reknow.ru}{2}, \frac{3 www.reknow.ru}{2}, \frac{4 www.reknow.ru}{2}$ . Косинусы — те же числа в обратном порядке.

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Примеры заданий 16 ЕГЭ по математике (база)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите значение выражения.

√20 · √20

Показать ответ

Ответ: 20
Решение. √20 · √20 = √(20·20) = √400 = 20.

Найдите значение выражения.

9 · sin 0°

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. sin 0° = 0. 9 · sin 0° = 9 · 0 = 0.

Найдите значение выражения.

(2√49 − 1)(2√49 + 1)

Показать ответ

Ответ: 195
Решение. (2√49 − 1)(2√49 + 1) = (2√49)² − 1² = 4·49 − 1 = 195.