ЕГЭ · Базовая математика · Задание 16 · На основе ФИПИ

Задание 16. Преобразования выражений

40 заданий по образцу банка ФИПИ: тот же навык и форма ответа, свои тексты, факты и данные. Впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 16. Преобразования выражений»

В теме 4 подтемы: Степени с целым показателем, Арифметический корень натуральной степени, Логарифм числа, Синус, косинус и тангенс числового аргумента.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Нужно найти значение числового выражения: упростить его по свойствам степеней, корней, логарифмов или тригонометрических функций и досчитать до числа. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь (в бланк: -7, 0,75). Задание оценивается в 1 балл.

Степенидроби вида

\frac{8 ^{5} \cdot 2 ^{7}}{1 6 ^{5}}

, отрицательные показатели

Корни

\frac{450}{2}

(35 - 2) (35 + 2)

4^{2} \cdot 3^{2}

Логарифмы

lo g_{6} 72 - lo g_{6} 2

3^{2 l o g_{3} 5}

lo g_{5} 25

Тригонометрия

82 sin 76 5^{\circ}

tg α \cdot ctg α

cos α

по

sin α

Почти всегда ответ — «круглое» число. Если получилось $7$ или $2, 333 \dots$ — где-то ошибка: в этом задании ответ всегда записывается конечной десятичной дробью.

Степени с целым показателем

a^{m} \cdot a^{n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} (a^{m})^{n} = a^{m + n} = a^{m - n} = a^{mn}

умножение, деление, возведение в степень

(ab)^{n} a^{0} a^{- n} = a^{n} b^{n} = 1 = \frac{1}{a ^{n}}

степень произведения, нулевой и отрицательный показатели (

a \neq = 0

)

Главный приём: привести все степени к одному основанию ( $4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ , $16 = 2^{4}$ , $27 = 3^{3}$ ) или разложить составное основание на простые множители ( $12 = 3 \cdot 2^{2}$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ ).

Найдите $\frac{8 ^{5} \cdot 2 ^{7}}{1 6 ^{5}}$ .

$8^{5} = (2^{3})^{5} = 2^{15}$ , $1 6^{5} = (2^{4})^{5} = 2^{20}$ .
$\frac{2 ^{15} \cdot 2 ^{7}}{2 ^{20}} = 2^{15 + 7 - 20} = 2^{2} = 4$ . Ответ: $4$ .

Найдите $\frac{6 ^{9}}{2 ^{8} \cdot 3 ^{9}}$ .

$6^{9} = (2 \cdot 3)^{9} = 2^{9} \cdot 3^{9}$ .
$\frac{2 ^{9} \cdot 3 ^{9}}{2 ^{8} \cdot 3 ^{9}} = 2^{9 - 8} \cdot 3^{0} = 2$ . Ответ: $2$ .

Показатели складывают только при умножении степеней с одинаковым основанием. $2^{3} + 2^{3} \neq = 2^{6}$ (это $2 \cdot 2^{3} = 2^{4}$ ). При отрицательных показателях следите за знаками: $3^{- 5} \cdot 3^{2} : 3^{- 7} = 3^{- 5 + 2 + 7} = 3^{4} = 81$ .

Арифметические корни

Арифметический квадратный корень $a$ из числа $a \geq 0$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ : $49 = 7$ , потому что $7 \geq 0$ и $7^{2} = 49$ .

ab \frac{a}{b} = a \cdot b = \frac{a}{b}

корень произведения и частного (

a \geq 0

b > 0

)

(a)^{2} = a, a^{2} = ∣ a ∣

квадрат корня и корень из квадрата

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

разность квадратов — убирает корни в произведениях вида

(x y - z) (x y + z)

Найдите $\frac{450}{2}$ и $(35 - 2) (35 + 2)$ .

$\frac{450}{2} = \frac{450}{2} = 225 = 15$ .
$(35)^{2} - 2^{2} = 9 \cdot 5 - 4 = 45 - 4 = 41$ .
Ответы: $15$ и $41$ .

Множитель перед корнем возводится в квадрат вместе с корнем: $(213)^{2} = 4 \cdot 13 = 52$ . Внести множитель под корень: $72 = 49 \cdot 2 = 98$ .

$a + b \neq = a + b$ : $9 + 16 = 5$ , а $3 + 4 = 7$ . Корень «раскладывается» только для произведения и частного.

Подробнее: корень

n

-й степени

$n a$ — число, $n$ -я степень которого равна $a$ : $3125 = 5$ . Свойства те же: $n ab = n a n b$ , $(n a)^{n} = a$ . Корень можно записать степенью: $n a = a^{\frac{1}{n}}$ , $a = a^{\frac{1}{2}}$ , — это пригодится в логарифмах: $lo g_{35} 5 = lo g_{5^{1/3}} 5 = 3$ .

Логарифмы: определение и тождество

Логарифм $lo g_{a} b$ — показатель степени, в которую надо возвести основание $a$ , чтобы получить $b$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ ): $lo g_{2} 8 = 3$ , потому что $2^{3} = 8$ .

a^{l o g_{a} b} = b

основное логарифмическое тождество

y = lo g_{2} x

— «обратная» к

y = 2^{x}

: точка

(8; 3)

означает

lo g_{2} 8 = 3

Найдите $3^{2 l o g_{3} 5}$ .

$2 lo g_{3} 5 = lo g_{3} 5^{2} = lo g_{3} 25$ — множитель уходит в показатель числа.
$3^{l o g_{3} 25} = 25$ . Ответ: $25$ .

Если в показателе ещё что-то прибавлено, разделите степень: $2^{l o g_{2} 5 - 1} = \frac{2 ^{l o g_{2} 5}}{2 ^{1}} = \frac{5}{2} = 2, 5$ .

Свойства логарифмов

Свойство	Пример
$lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b c)$	$l g 2 + l g 50 = l g 100 = 2$
$lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} (b / c)$	$lo g_{6} 72 - lo g_{6} 2 = lo g_{6} 36 = 2$
$lo g_{a} b^{k} = k lo g_{a} b$	$lo g_{5} 7^{6} = 6 lo g_{5} 7$
$lo g_{a^{k}} b = (1/ k) \cdot lo g_{a} b$	$lo g_{5} 25 = 2 lo g_{5} 25 = 4$
$lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} 1 = 0$	$lo g_{20} 2 + lo g_{20} 10 = lo g_{20} 20 = 1$

Здесь $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b, c > 0$ ; $l g$ — десятичный логарифм ( $lo g_{10}$ ).

Найдите $\frac{lo g _{5} 7 ^{6}}{3 lo g _{5} 7}$ .

Показатель выносим: $lo g_{5} 7^{6} = 6 lo g_{5} 7$ .
$\frac{6 lo g _{5} 7}{3 lo g _{5} 7} = \frac{6}{3} = 2$ . Ответ: $2$ .

$lo g_{a} (b + c) \neq = lo g_{a} b + lo g_{a} c$ . Сумма логарифмов — это логарифм произведения, а не суммы. И складывать можно только логарифмы с одинаковым основанием.

Тригонометрия: значения и период

Точка единичной окружности для угла

α

имеет координаты

(cos α; sin α)

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tg α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	—

$sin (α + 36 0^{\circ} k) = sin α$ , $cos (α + 36 0^{\circ} k) = cos α$ , $tg (α + 18 0^{\circ} k) = tg α$ ( $k$ — целое). Из большого угла вычитаем целые обороты.

Найдите $82 sin 76 5^{\circ}$ и $143 tg 111 0^{\circ}$ .

$76 5^{\circ} = 2 \cdot 36 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ , значит $sin 76 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ; $82 \cdot \frac{2}{2} = 8$ .
$111 0^{\circ} = 6 \cdot 18 0^{\circ} + 3 0^{\circ}$ , значит $tg 111 0^{\circ} = tg 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ ; $143 \cdot \frac{3}{3} = 14$ .

$tg α \cdot ctg α = 1$ при любом допустимом $α$ : $tg 5 4^{\circ} \cdot ctg 5 4^{\circ} = 1$ — считать сами значения не нужно.

Синус по косинусу (и наоборот)

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

основное тригонометрическое тождество

Отсюда $cos α = \pm 1 - sin^{2} α$ . Знак выбираем по четверти, в которой лежит угол $α$ (её дают в условии, например $α \in (\frac{π}{2}; π)$ — это II четверть).

Знаки:

sin

— это ордината (вверх «+»),

cos

— абсцисса (вправо «+»)

Найдите $cos α$ , если $sin α = \frac{51}{10}$ и $α \in (\frac{π}{2}; π)$ .

$cos^{2} α = 1 - \frac{51}{100} = \frac{49}{100}$ , значит $cos α = \pm \frac{7}{10}$ .
Угол во II четверти, а там косинус отрицателен.
$cos α = - 0, 7$ . Ответ: $- 0, 7$ .

Не забудьте возвести в квадрат и числитель, и знаменатель: $(\frac{2 6}{5})^{2} = \frac{4 \cdot 6}{25} = \frac{24}{25}$ . И проверьте знак: интервалы $(π; \frac{3 π}{2})$ и $(\frac{3 π}{2}; 2 π)$ — это III и IV четверти.

Шпаргалка номера

Тема	Что применять
Степени	$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ $a^{- n} = 1 : a^{n}$ всё — к одному основанию
Корни	$ab = a b$ $a : b = a : b$ $(k a)^{2} = k^{2} a$ $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$
Логарифмы	$a^{l o g_{a} b} = b$ $lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b c)$ $lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} (b : c)$ $lo g_{a} b^{k} = k lo g_{a} b$ $lo g_{a^{k}} b = lo g_{a} b : k$
Тригонометрия	убрать обороты ( $36 0^{\circ}$ ; для $tg$ — $18 0^{\circ}$ ), таблица значений, $tg α ctg α = 1$
$cos$ по $sin$	$cos α = \pm 1 - sin^{2} α$ , знак — по четверти

Порядок работы: 1) определить «тип» выражения; 2) привести к одному основанию / под один корень / под один логарифм; 3) сократить; 4) проверить, что ответ — конечная десятичная дробь.

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу открытого банка ФИПИ: тот же номер КИМ, тот же проверяемый навык и та же форма ответа, но свои формулировки, тексты и данные. Начните с банка ФИПИ — там официальные задания, — а здесь закрепляйте навык. Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: цифры — подряд, без пробелов и запятых, слово — как требует задание; несколько чисел таблицы ответа — через пробел.

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0