Задание 19. Числа с заданными свойствами

Найдите четырёхзначное число, кратное 30, все цифры которого различны и чётны.

1. Кратно 10 — последняя цифра $0$.
2. Остальные три — различные из $\{2,4,6,8\}$, и их сумма делится на 3: подходят $2+4+6=12$ и $4+6+8=18$.
3. Например, 4260 (или 2460, 8640…).

Число $A$ составлено из цифр 1, 4, 5, 5, а $B=3A$ — из цифр 3, 4, 5, 6. Найдите $A$.

1. $B$ четырёхзначное, значит $A<3334$: первая цифра $A$ — это $1$.
2. Кандидаты: $1455$, $1545$, $1554$. Проверяем: $3\cdot 1455=4365$ ✓; $3\cdot 1545=4635$ ✓; $3\cdot 1554=4662$ ✗.
3. Подходят два числа; дополнительное условие задачи (например, «$A$ меньше 1500») оставляет одно: 1455.

Вычеркните из числа 316152 три цифры так, чтобы оставшееся число делилось на 12.

1. $12=3\cdot 4$: две последние цифры образуют число, кратное 4, и сумма цифр кратна 3.
2. Пробуем окончание «12» (цифры 1 и 2 стоят в нужном порядке) и первую цифру 3: число $312$, сумма $6$ ⋮ 3, $12$ ⋮ 4 ✓.