Задание 18. Соответствие чисел и решений неравенств

Сопоставление числовых выражений и решений неравенств их истинным значениям. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Задание 18 бывает двух видов. В первом нужно понять, какое из чисел вроде $26 www.reknow.ru$ , $lo g_{2} 30$ , $\frac{16}{3}$ больше, — то есть расставить их по местам на числовой прямой. Во втором — решить четыре неравенства и найти для каждого его промежуток среди ответов. Ответ — 4 цифры по порядку А, Б, В, Г. 1 балл.

Оценка чисел

Каждое число зажимаем между двумя «удобными»: $25 www.reknow.ru < 26 www.reknow.ru < 36 www.reknow.ru$ , то есть $5 < 26 www.reknow.ru < 6$ ; $lo g_{2} 16 < lo g_{2} 30 < lo g_{2} 32$ , то есть $4 < lo g_{2} 30 < 5$ .

Расположите по возрастанию: А) $26 www.reknow.ru$ ; Б) $lo g_{2} 30$ ; В) $\frac{16}{3}$ ; Г) $5$ . Каждой букве поставьте номер места (1 — наименьшее).

$lo g_{2} 30 < lo g_{2} 32 = 5$ — меньше 5.
$26 www.reknow.ru > 25 www.reknow.ru = 5$ , но $5, 1^{2} = 26, 01 > 26$ , значит $26 www.reknow.ru < 5, 1$ .
$\frac{16}{3} = 5, 33 \dots$
Порядок: $lo g_{2} 30 < 5 < 26 www.reknow.ru < \frac{16}{3}$ . Места: А — 3, Б — 1, В — 4, Г — 2. Ответ: 3142.

lo g_{2} 30 \approx 4, 91

;

26 www.reknow.ru \approx 5, 10

;

\frac{16}{3} \approx 5, 33

Полезные опоры: $2 www.reknow.ru \approx 1, 41$ , $3 www.reknow.ru \approx 1, 73$ , $π \approx 3, 14$ ; степени двойки $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$ — для оценки $lo g_{2}$ .

Простейшие неравенства

Вид	Как решать	Пример
Показательное, $a > 1$	знак сохраняется	$2^{x} \geq 4 ⟺ x \geq 2$
Показательное, $0 < a < 1$	знак меняется	$0, 5^{x} \geq 4 ⟺ x \leq - 2$
Логарифмическое	учесть $x > 0$ ; при $a > 1$ знак сохраняется	$lo g_{2} x \leq 1 ⟺ 0 < x \leq 2$
Квадратное	корни + знаки (метод интервалов)	$x^{2} \leq 4 ⟺ - 2 \leq x \leq 2$

А) $2^{x} \geq 4$ ; Б) $0, 5^{x} \geq 4$ ; В) $lo g_{2} x \leq 1$ ; Г) $x^{2} \leq 4$ . Решения: 1) $[- 2; 2]$ ; 2) $(0; 2]$ ; 3) $[2; + \infty)$ ; 4) $(- \infty; - 2]$ .

А: $x \geq 2$ — 3. Б: $2^{- x} \geq 2^{2}$ , $x \leq - 2$ — 4.
В: $x \leq 2$ и $x > 0$ — 2. Г: $∣ x ∣ \leq 2$ — 1.
Ответ: 3421.

Метод интервалов

Для неравенств вида $(x - a) (x - b) > 0$ или $\frac{x - a}{x - b} \leq 0$ : отмечаем нули числителя и знаменателя, определяем знак на каждом промежутке.

(x + 3) (x - 2) < 0

при

- 3 < x < 2

;

> 0

при

x < - 3

или

x > 2

Нуль знаменателя всегда «выколот» (круглая скобка), даже если неравенство нестрогое: в $\frac{x - 1}{x + 3} \leq 0$ ответ $(- 3; 1]$ .

При основании меньше 1 ( $0, 5^{x}$ , $lo g_{0, 5} x$ ) знак неравенства меняется на противоположный.

Проверяйте подстановкой: возьмите число из найденного промежутка и одно снаружи — неравенство должно выполняться только для первого.

Примеры заданий 18 ЕГЭ по математике (база)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Расположите значения выражений на числовой прямой по возрастанию. Каждой букве (А, Б, В, Г) сопоставьте номер её позиции (1 — самое маленькое значение, 4 — самое большое). В ответе запишите последовательность цифр без пробелов.

Буква	Выражение
А	5^1.5
Б	11/4
В	2^2.5
Г	(3/5)⁻¹

Показать ответ

Ответ: 4231
Решение. Приближённые значения: А) 5^1.5 ≈ 11.180; Б) 114 ≈ 2.750; В) 2^2.5 ≈ 5.657; Г) (35)⁻¹ ≈ 1.667. Расположив их по возрастанию, получаем порядок позиций: А→4, Б→2, В→3, Г→1. Ответ: 4231.

Установите соответствие между неравенствами и их решениями: к каждому неравенству (А, Б, В, Г) подберите номер его решения (1, 2, 3, 4). В ответе запишите последовательность цифр без пробелов.

Неравенства	Решения
А) 1/(x + 10) < 0	1) x < 6 или x > 9
Б) (x − 6)(x − 9) > 0	2) x < 8
В) 1/(x − 8) < 0	3) 6 < x < 8
Г) (x − 6)/(x − 8) < 0	4) x < -10

Показать ответ

Ответ: 4123
Решение. Решения неравенств: А) 1x + 10 < 0 ⇒ x < -10; Б) (x − 6)(x − 9) > 0 ⇒ x < 6 или x > 9; В) 1x − 8 < 0 ⇒ x < 8; Г) x − 6x − 8 < 0 ⇒ 6 < x < 8. Сопоставив с перемешанным списком решений, получаем ответ: 4123.

Буква	Выражение
А	log₅30
Б	log₂10
В	11/4
Г	7/3

Показать ответ

Ответ: 1432
Решение. Приближённые значения: А) log₅30 ≈ 2.113; Б) log₂10 ≈ 3.322; В) 114 ≈ 2.750; Г) 73 ≈ 2.333. Расположив их по возрастанию, получаем порядок позиций: А→1, Б→4, В→3, Г→2. Ответ: 1432.