ЕГЭ · Базовая математика · Задание 18 · На основе ФИПИ

Задание 18. Неравенства и числовая прямая

40 заданий по образцу банка ФИПИ: тот же навык и форма ответа, свои тексты, факты и данные. Впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 18. Неравенства и числовая прямая»

В теме 4 подтемы: Целые и дробно-рациональные неравенства, Показательные и логарифмические неравенства, Числа на координатной прямой, Числа и отрезки.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Задание на соответствие: четырём объектам слева (А, Б, В, Г) нужно подобрать по одному из четырёх справа (1–4). Ответ — четыре цифры подряд без пробелов и запятых, например 1423. Задание стоит 1 балл; каждая цифра стоит на месте своей буквы.

Числа ↔ отрезки

5 + 2

lo g_{2} 5

\frac{2}{m}

— в каком отрезке

[1; 2]

[2; 3]

…

Точки ↔ числана прямой отмечены

A

B

C

D

— какая точка какое число

Выражения с $m$ , $n$

m

n

отмечены на прямой; где

mn

m + n

\frac{1}{m}

Неравенства ↔ решенияквадратные, дробные, показательные, логарифмические

Обычно достаточно найти три пары уверенно — четвёртая определится сама. Но лучше проверить и её: так ловится ошибка в остальных.

Как оценить число

Корень зажимаем между квадратами: $9 < 10 < 16$ , значит $3 < 10 < 4$ . Логарифм — между степенями: $2^{2} < 5 < 2^{3}$ , значит $2 < lo g_{2} 5 < 3$ .

Число	≈	Число	≈
$2$	$1, 41$	$6$	$2, 45$
$3$	$1, 73$	$7$	$2, 65$
$5$	$2, 24$	$10$	$3, 16$
$lo g_{2} 3$	$1, 58$	$lo g_{2} 5$	$2, 32$

$m = 7$ . Сопоставьте: А) $m - 2$ ; Б) $10/ m$ ; В) $m /2$ ; Г) $5 - m$ и отрезки 1) $[0; 1]$ ; 2) $[1; 2]$ ; 3) $[2; 3]$ ; 4) $[3; 4]$ .

$2, 5^{2} = 6, 25 < 7 < 9 = 3^{2}$ , значит $2, 5 < m < 3$ .
А) $0, 5 < m - 2 < 1$ → 1. Б) $10/3 < 10/ m < 10/2, 5$ , то есть от $3, 33$ до $4$ → 4.
В) $1, 25 < m /2 < 1, 5$ → 2. Г) $2 < 5 - m < 2, 5$ → 3.
Ответ: $1423$ .

Те же числа на прямой: каждое попало в свой отрезок

При делении на большее число результат меньше: если $m$ растёт, $10/ m$ убывает, поэтому границы «переворачиваются». Вычитание тоже переворачивает: из $m < 3$ следует $5 - m > 2$ .

Выражения с $m$ и $n$ на прямой

Положение точек дают рисунком. Снимаем примерные значения и считаем, не забывая про знаки.

По рисунку

m \approx - 1, 6

n \approx 2, 4

Где лежат $m + n$ , $mn$ , $n / m$ , $m^{2}$ ?

$m + n \approx - 1, 6 + 2, 4 = 0, 8$ → в $[0; 1]$ .
$mn \approx - 1, 6 \cdot 2, 4 = - 3, 84$ → в $[- 4; - 3]$ (минус на плюс — минус).
$n / m \approx 2, 4 : (- 1, 6) = - 1, 5$ → в $[- 2; - 1]$ .
$m^{2} \approx 2, 56$ → в $[2; 3]$ (квадрат всегда неотрицателен).

« $+$ » на « $-$ » даёт « $-$ »; « $-$ » на « $-$ » даёт « $+$ »; $\frac{1}{m}$ того же знака, что $m$ , и при $∣ m ∣ > 1$ по модулю меньше $1$ .

Если результат вышел близко к границе отрезка, уточните оценку: возьмите крайние положения точек ( $m$ от $- 2$ до $- 1$ и т. д.) и посмотрите, куда «доезжает» выражение.

Квадратные неравенства

Найдите корни $x_{1} < x_{2}$ трёхчлена $x^{2} + b x + c$ (ветви параболы вверх).

$x^{2} + b x + c \geq 0$ ⟹ $x \leq x_{1}$ или $x \geq x_{2}$ (снаружи корней);

$x^{2} + b x + c \leq 0$ ⟹ $x_{1} \leq x \leq x_{2}$ (между корнями).

x^{2} - 7 x + 10 \geq 0

при

x \leq 2

или

x \geq 5

(зелёные лучи),

\leq 0

— на

[2; 5]

А) $x^{2} - 7 x + 10 \geq 0$ ; Б) $x^{2} - 3 x - 10 \leq 0$ ; В) $x^{2} + 7 x + 10 \geq 0$ ; Г) $x^{2} + 3 x - 10 \leq 0$ .

Корни по Виету: А) $2$ и $5$ ; Б) $- 2$ и $5$ ; В) $- 5$ и $- 2$ ; Г) $- 5$ и $2$ .
А) $(- \infty; 2] \cup [5; + \infty)$ ; Б) $[- 2; 5]$ .
В) $(- \infty; - 5] \cup [- 2; + \infty)$ ; Г) $[- 5; 2]$ .

В наборе обычно две пары трёхчленов, отличающихся знаком при $x$ : у них корни противоположны ( $2$ и $5$ против $- 5$ и $- 2$ ). Сначала смотрим на знак неравенства («снаружи» или «между»), потом на корни.

На рисунке ответа закрашенная точка — конец входит ( $\leq$ , $\geq$ ), пустая — не входит (строгие знаки $<$ и $>$ ).

Дробные неравенства: метод интервалов

Отметьте на прямой нули числителя и знаменателя.
Нули знаменателя — всегда выколотые (на ноль делить нельзя).
Расставьте знаки на промежутках (подставьте любое число из каждого).
Выберите промежутки с нужным знаком.

\frac{x}{x - 2} \leq 0

: ответ

[0; 2)

— точка

0

входит,

2

выколота

$x (x - 2) \leq 0$

[0; 2]

— оба конца входят

$\frac{x}{x - 2} \leq 0$

[0; 2)

—

x = 2

обнуляет знаменатель

$\frac{( x - 3 ) ^{2}}{x - 1} > 0$

$(x - 3)^{2} \geq 0$ всегда, и равен $0$ при $x = 3$ — эту точку исключаем (нужно строго больше нуля).
Знак дроби = знак $x - 1$ : нужно $x > 1$ .
Ответ: $(1; 3) \cup (3; + \infty)$ .

$f (x) = x - 3 + 3$ определена при $x - 3 \geq 0$ , то есть $x \in [3; + \infty)$ ; $3 - x$ — при $x \leq 3$ ; $x + 3$ — при $x \geq - 3$ . Число, прибавленное вне корня, на область не влияет.

Показательные и логарифмические

При основании $a > 1$ функции $a^{x}$ и $lo g_{a} x$ возрастают — знак неравенства сохраняется. При $0 < a < 1$ — убывают, знак меняется на противоположный.

2^{x} \geq 4

⟺

x \geq 2

; а

0, 5^{x} \geq 4

⟺

x \leq - 2

(график убывает)

$2^{x} \geq 4$ ; $0, 5^{x} \geq 4$ ; $0, 5^{x} \leq 4$ ; $2^{x} \leq 4$ .

$4 = 2^{2} = 0, 5^{- 2}$ .
$2^{x} \geq 2^{2}$ ⟹ $x \geq 2$ ; $2^{x} \leq 2^{2}$ ⟹ $x \leq 2$ .
$0, 5^{x} \geq 0, 5^{- 2}$ ⟹ $x \leq - 2$ ; $0, 5^{x} \leq 0, 5^{- 2}$ ⟹ $x \geq - 2$ .

$lo g_{2} x > 2$ и $lo g_{1/3} x \geq 1$ .

$lo g_{2} x > lo g_{2} 4$ , основание $2 > 1$ : $x > 4$ .
$lo g_{1/3} x \geq lo g_{1/3} (1/3)$ , основание меньше 1, знак меняется: $x \leq 1/3$ ; и ещё $x > 0$ .
Ответы: $(4; + \infty)$ и $(0; 1/3]$ .

У логарифма всегда $x > 0$ : решение $lo g_{3} x \leq 1$ — это $(0; 3]$ , а не $(- \infty; 3]$ . Помните: $0 = lo g_{a} 1$ , $1 = lo g_{a} a$ , $- 1 = lo g_{a} (1/ a)$ .

Шпаргалка номера

Корень $a$ между соседними квадратами:

k^{2} < a < (k + 1)^{2}

Логарифм $lo g_{a} b$ между соседними степенями числа

a

$k - m$ и $k / m$ оцените

m

с двух сторон; вычитание из числа и деление на

m

переворачивают границы

Квадратное, $\geq 0$ снаружи корней:

x \leq x_{1}

или

x \geq x_{2}

Квадратное, $\leq 0$ между корнями:

x_{1} \leq x \leq x_{2}

Дробноеметод интервалов, нули знаменателя выколоты

$a^{x}$ , $lo g_{a} x$ при $a > 1$ знак неравенства сохраняется

$a^{x}$ , $lo g_{a} x$ при $0 < a < 1$ знак меняется; для логарифма ещё

x > 0

Запись ответа: цифры под буквами А, Б, В, Г подряд — 4213. Каждому номеру справа соответствует ровно одна буква, поэтому все четыре цифры в ответе разные — повтор цифры означает ошибку.

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу открытого банка ФИПИ: тот же номер КИМ, тот же проверяемый навык и та же форма ответа, но свои формулировки, тексты и данные. Начните с банка ФИПИ — там официальные задания, — а здесь закрепляйте навык. Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: цифры — подряд, без пробелов и запятых, слово — как требует задание; несколько чисел таблицы ответа — через пробел.

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0