Задание 17. Уравнения — Математика (база), 11 класс

Показательные, логарифмические, квадратные и иррациональные уравнения. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Решить уравнение — найти число, которое делает равенство верным. В задании 17 уравнения разных видов, но каждое сводится к простому линейному или квадратному: нужно лишь «снять» степень, логарифм или корень. В ответ — один корень (если корней два, в условии сказано, какой записать). 1 балл.

Показательные уравнения

Если $a^{f (x)} = a^{g (x)}$ , где $a > 0$ , $a \neq = 1$ , то $f (x) = g (x)$ . Сначала приводим обе части к одному основанию.

2^{t} = 4

ровно при

t = 2

: функция

y = 2^{t}

возрастает, поэтому корень один

$2^{10 - x} = 4$

$4 = 2^{2}$ , значит $2^{10 - x} = 2^{2}$ .
Показатели равны: $10 - x = 2$ , $x = 8$ .

$(\frac{1}{3})^{x - 5} = 9$ : $\frac{1}{3} = 3^{- 1}$ , $9 = 3^{2}$ , тогда $3^{- (x - 5)} = 3^{2}$ , $- x + 5 = 2$ , $x = 3$ .

Логарифмические уравнения

Логарифм $lo g_{a} b$ — показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ : $lo g_{2} 8 = 3$ , так как $2^{3} = 8$ ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ ).

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x y), lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} \frac{x}{y}

Если $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ , то $f (x) = g (x)$ , причём выражения под логарифмом должны быть положительны. А $lo g_{a} f (x) = c$ означает $f (x) = a^{c}$ .

$lo g_{4} (3 x + 22) - lo g_{4} 5 = lo g_{4} 8$

Слева разность логарифмов: $lo g_{4} \frac{3 x + 22}{5} = lo g_{4} 8$ .
$\frac{3 x + 22}{5} = 8$ , $3 x + 22 = 40$ , $x = 6$ .
Проверка: $3 \cdot 6 + 22 = 40 > 0$ ✓. Ответ: $6$ .

$lo g_{3} (x - 4) = 2$ : $x - 4 = 3^{2} = 9$ , $x = 13$ .

Квадратные и иррациональные

a x^{2} + b x + c = 0 : D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D www.reknow.ru}{2 a}

корни квадратного уравнения

$a, b, c$ — коэффициенты ( $a \neq = 0$ ), $D$ — дискриминант: при $D > 0$ два корня, при $D = 0$ один, при $D < 0$ корней нет. Для $x^{2} + p x + q = 0$ по теореме Виета $x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} x_{2} = q$ .

$x^{2} - 7 x + 10 = 0$ : сумма корней $7$ , произведение $10$ — это $2$ и $5$ . Если просят меньший корень — ответ $2$ .

$2 x + 7 www.reknow.ru = 5$

Возводим в квадрат: $2 x + 7 = 25$ , $x = 9$ .
Проверка: $25 www.reknow.ru = 5$ ✓.

После возведения в квадрат могут появиться «лишние» корни. В $x + 2 www.reknow.ru = x$ получаем $x^{2} - x - 2 = 0$ , корни $2$ и $- 1$ ; но при $x = - 1$ : $1 www.reknow.ru = 1 \neq = - 1$ . Подходит только $2$ .

Любой найденный корень подставьте в исходное уравнение — это занимает полминуты и спасает от потери балла.

Примеры заданий 17 ЕГЭ по математике (база)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Решите уравнение. В ответе запишите корень.

2^{10 − x} = 4

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. 2^{10 − x} = 2² ⇒ 10 − x = 2 ⇒ x = 10 − 2 = 8.

Решите уравнение. В ответе запишите корень.

log₄(3x + 22) − log₄ 5 = log₄ 8

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. log₄(3x + 22) = log₄(5·8) ⇒ 3x + 22 = 40 ⇒ 3x = 18 ⇒ x = 183 = 6.

Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

x² − x − 90 = 0

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. По теореме Виета: сумма корней равна 1, произведение равно -90. Подходят x₁ = -9 и x₂ = 10. Больший корень: 10.